Calcul infinitésimal Exemples

$y = x + \frac{a}{x} - \frac{b}{x^{3}}$

Étape 1

Différenciez.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \frac{a}{x} - \frac{b}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{3}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{3}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$ .

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Étape 2.1

Comme $a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{a}{x}$ par rapport à $x$ est $a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$1 + a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{3}}]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$1 + a \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{3}}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$1 + a (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{3}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{3}}]$ .

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Étape 3.1

Comme $- b$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{b}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $- b \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$1 + a (- x^{- 2}) - b \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$1 + a (- x^{- 2}) - b \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{3}$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3}$ .

$1 + a (- x^{- 2}) - b (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$1 + a (- x^{- 2}) - b (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3}$ .

$1 + a (- x^{- 2}) - b (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$1 + a (- x^{- 2}) - b (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Étape 3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Étape 3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + a (- x^{- 2}) - b (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Étape 3.5.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$1 + a (- x^{- 2}) - b (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Étape 3.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$1 + a (- x^{- 2}) - b (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Étape 3.7

Multipliez $x^{- 6}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.7.1

Déplacez $x^{2}$ .

$1 + a (- x^{- 2}) - b (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Étape 3.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 + a (- x^{- 2}) - b (- 3 x^{2 - 6})$

Étape 3.7.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$1 + a (- x^{- 2}) - b (- 3 x^{- 4})$

Étape 3.8

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$1 + a (- x^{- 2}) + 3 b x^{- 4}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + a (- \frac{1}{x^{2}}) + 3 b x^{- 4}$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + a (- \frac{1}{x^{2}}) + 3 b \frac{1}{x^{4}}$

Étape 4.3

Associez des termes.

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Étape 4.3.1

Associez $a$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$1 - \frac{a}{x^{2}} + 3 b \frac{1}{x^{4}}$

Étape 4.3.2

Associez $3$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$1 - \frac{a}{x^{2}} + b \frac{3}{x^{4}}$

Étape 4.3.3

Associez $b$ et $\frac{3}{x^{4}}$ .

$1 - \frac{a}{x^{2}} + \frac{b \cdot 3}{x^{4}}$

Étape 4.3.4

Déplacez $3$ à gauche de $b$ .

$1 - \frac{a}{x^{2}} + \frac{3 b}{x^{4}}$

Étape 4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{a}{x^{2}} + \frac{3 b}{x^{4}} + 1$