Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sin (\ln (x)) + \cos (\ln (x))$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (\ln (x)) + \cos (\ln (x))$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin (\ln (x))] + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (\ln (x))] + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sin (\ln (x))]$ .

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \ln (x)$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\ln (x)$ .

$\cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))]$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\cos (\ln (x)) \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))]$

Étape 2.3

Associez $\cos (\ln (x))$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\cos (\ln (x))}{x} + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))]$ .

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \ln (x)$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\ln (x)$ .

$\frac{\cos (\ln (x))}{x} + \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{\cos (\ln (x))}{x} - \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\ln (x)$ .

$\frac{\cos (\ln (x))}{x} - \sin (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 3.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\cos (\ln (x))}{x} - \sin (\ln (x)) \frac{1}{x}$

Étape 3.3

Associez $\frac{1}{x}$ et $\sin (\ln (x))$ .

$\frac{\cos (\ln (x))}{x} - \frac{\sin (\ln (x))}{x}$