Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{7 x^{2}}{{(7 x + 13 y)}^{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Comme $7 x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{7 x^{2}}{{(7 x + 13 y)}^{2}}$ par rapport à $y$ est $7 x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{{(7 x + 13 y)}^{2}}]$ .

$7 x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{{(7 x + 13 y)}^{2}}]$

Étape 1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(7 x + 13 y)}^{2}}$ comme ${({(7 x + 13 y)}^{2})}^{- 1}$ .

$7 x^{2} \frac{d}{d y} [{({(7 x + 13 y)}^{2})}^{- 1}]$

Étape 1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(7 x + 13 y)}^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7 x^{2} \frac{d}{d y} [{(7 x + 13 y)}^{2 \cdot - 1}]$

Étape 1.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$7 x^{2} \frac{d}{d y} [{(7 x + 13 y)}^{- 2}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{- 2}$ et $g (y) = 7 x + 13 y$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $7 x + 13 y$ .

$7 x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d y} [7 x + 13 y])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$7 x^{2} (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d y} [7 x + 13 y])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $7 x + 13 y$ .

$7 x^{2} (- 2 {(7 x + 13 y)}^{- 3} \frac{d}{d y} [7 x + 13 y])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Multipliez $- 2$ par $7$ .

$- 14 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} \frac{d}{d y} [7 x + 13 y])$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x + 13 y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [7 x] + \frac{d}{d y} [13 y]$ .

$- 14 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} (\frac{d}{d y} [7 x] + \frac{d}{d y} [13 y]))$

Étape 3.3

Comme $7 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$- 14 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} (0 + \frac{d}{d y} [13 y]))$

Étape 3.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d y} [13 y]$ .

$- 14 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} \frac{d}{d y} [13 y])$

Étape 3.5

Comme $13$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $13 y$ par rapport à $y$ est $13 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 14 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} (13 \frac{d}{d y} [y]))$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.6.1

Déplacez $13$ à gauche de ${(7 x + 13 y)}^{- 3}$ .

$- 14 x^{2} (13 \cdot {(7 x + 13 y)}^{- 3} \frac{d}{d y} [y])$

Étape 3.6.2

Multipliez $13$ par $- 14$ .

$- 182 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} \frac{d}{d y} [y])$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 182 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} \cdot 1)$

Étape 3.8

Multipliez ${(7 x + 13 y)}^{- 3}$ par $1$ .

$- 182 x^{2} {(7 x + 13 y)}^{- 3}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 182 x^{2} \frac{1}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Associez $- 182$ et $\frac{1}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$ .

$x^{2} \frac{- 182}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$

Étape 4.2.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{- 182}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 182}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$

Étape 4.2.3

Déplacez $- 182$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{- 182 \cdot x^{2}}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$

Étape 4.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{182 x^{2}}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$