Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x}{x - y}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{x}{x - y}$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{x - y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [\frac{1}{x - y}]$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{1}{x - y}$ comme ${(x - y)}^{- 1}$ .

$x \frac{d}{d y} [{(x - y)}^{- 1}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{- 1}$ et $g (y) = x - y$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [x - y])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$x (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [x - y])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - y$ .

$x (- {(x - y)}^{- 2} \frac{d}{d y} [x - y])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$x (- {(x - y)}^{- 2} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]))$

Étape 3.2

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$x (- {(x - y)}^{- 2} (0 + \frac{d}{d y} [- y]))$

Étape 3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$x (- {(x - y)}^{- 2} \frac{d}{d y} [- y])$

Étape 3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (- {(x - y)}^{- 2} (- \frac{d}{d y} [y]))$

Étape 3.5

Multipliez.

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Étape 3.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x (1 {(x - y)}^{- 2} \frac{d}{d y} [y])$

Étape 3.5.2

Multipliez ${(x - y)}^{- 2}$ par $1$ .

$x ({(x - y)}^{- 2} \frac{d}{d y} [y])$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x ({(x - y)}^{- 2} \cdot 1)$

Étape 3.7

Multipliez ${(x - y)}^{- 2}$ par $1$ .

$x {(x - y)}^{- 2}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{1}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 4.2

Associez $x$ et $\frac{1}{{(x - y)}^{2}}$ .

$\frac{x}{{(x - y)}^{2}}$