Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x y}{3 x + 8 y}$

Étape 1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{x y}{3 x + 8 y}$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [\frac{y}{3 x + 8 y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [\frac{y}{3 x + 8 y}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ est $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ où $f (y) = y$ et $g (y) = 3 x + 8 y$ .

$x \frac{(3 x + 8 y) \frac{d}{d y} [y] - y \frac{d}{d y} [3 x + 8 y]}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x \frac{(3 x + 8 y) \cdot 1 - y \frac{d}{d y} [3 x + 8 y]}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Étape 3.2

Multipliez $3 x + 8 y$ par $1$ .

$x \frac{3 x + 8 y - y \frac{d}{d y} [3 x + 8 y]}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 8 y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [8 y]$ .

$x \frac{3 x + 8 y - y (\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [8 y])}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Étape 3.4

Comme $3 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$x \frac{3 x + 8 y - y (0 + \frac{d}{d y} [8 y])}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Étape 3.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d y} [8 y]$ .

$x \frac{3 x + 8 y - y \frac{d}{d y} [8 y]}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Étape 3.6

Comme $8$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $8 y$ par rapport à $y$ est $8 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \frac{3 x + 8 y - y (8 \frac{d}{d y} [y])}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Étape 3.7

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$x \frac{3 x + 8 y - 8 y \frac{d}{d y} [y]}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x \frac{3 x + 8 y - 8 y \cdot 1}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Étape 3.9

Simplifiez les termes.

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Étape 3.9.1

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$x \frac{3 x + 8 y - 8 y}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Étape 3.9.2

Soustrayez $8 y$ de $8 y$ .

$x \frac{3 x + 0}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Étape 3.9.3

Additionnez $3 x$ et $0$ .

$x \frac{3 x}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Étape 3.9.4

Associez $x$ et $\frac{3 x}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$ .

$\frac{x (3 x)}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Étape 4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (x^{1} x)}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Étape 5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (x^{1} x^{1})}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Étape 6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 x^{1 + 1}}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Étape 7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 x^{2}}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$