Calcul infinitésimal Exemples

$x^{5} + z \sin (x y z)$

Étape 1

Différenciez.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{5} + z \sin (x y z)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x^{5}] + \frac{d}{d y} [z \sin (x y z)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{5}] + \frac{d}{d y} [z \sin (x y z)]$

Étape 1.2

Comme $x^{5}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x^{5}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [z \sin (x y z)]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d y} [z \sin (x y z)]$ .

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Étape 2.1

Comme $z$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $z \sin (x y z)$ par rapport à $y$ est $z \frac{d}{d y} [\sin (x y z)]$ .

$0 + z \frac{d}{d y} [\sin (x y z)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = \sin (y)$ et $g (y) = x y z$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x y z$ .

$0 + z (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [x y z])$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$0 + z (\cos (u) \frac{d}{d y} [x y z])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x y z$ .

$0 + z (\cos (x y z) \frac{d}{d y} [x y z])$

Étape 2.3

Comme $x z$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x y z$ par rapport à $y$ est $x z \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + z (\cos (x y z) (x z \frac{d}{d y} [y]))$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + z (\cos (x y z) (x z \cdot 1))$

Étape 2.5

Multipliez $x$ par $1$ .

$0 + z (\cos (x y z) (x z))$

Étape 2.6

Élevez $z$ à la puissance $1$ .

$0 + z^{1} z (\cos (x y z) (x))$

Étape 2.7

Élevez $z$ à la puissance $1$ .

$0 + z^{1} z^{1} (\cos (x y z) (x))$

Étape 2.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$0 + z^{1 + 1} (\cos (x y z) (x))$

Étape 2.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$0 + z^{2} (\cos (x y z) (x))$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Additionnez $0$ et $z^{2} (\cos (x y z) (x))$ .

$z^{2} (\cos (x y z) (x))$

Étape 3.2

Réorganisez les facteurs de $z^{2} (\cos (x y z) (x))$ .

$z^{2} x \cos (x y z)$