Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x - y}{x + y}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ est $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ où $f (y) = x - y$ et $g (y) = x + y$ .

$\frac{(x + y) \frac{d}{d y} [x - y] - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{(x + y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.2

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{(x + y) (0 + \frac{d}{d y} [- y]) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{(x + y) \frac{d}{d y} [- y] - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{(x + y) (- \frac{d}{d y} [y]) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x + y) (- 1 \cdot 1) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{(x + y) \cdot - 1 - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.6.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x + y$ .

$\frac{- 1 \cdot (x + y) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.6.3

Réécrivez $- 1 (x + y)$ comme $- (x + y)$ .

$\frac{- (x + y) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{- (x + y) - (x - y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.8

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{- (x + y) - (x - y) (0 + \frac{d}{d y} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.9

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{- (x + y) - (x - y) \frac{d}{d y} [y]}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{- (x + y) - (x - y) \cdot 1}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.11

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- (x + y) - (x - y)}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x - y - (x - y)}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x - y - x - - y}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1

Multipliez $- - y$ .

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Étape 3.3.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x - y - x + 1 y}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$\frac{- x - y - x + y}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Associez les termes opposés dans $- x - y - x + y$ .

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Étape 3.3.2.1

Additionnez $- y$ et $y$ .

$\frac{- x - x + 0}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $- x - x$ et $0$ .

$\frac{- x - x}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$\frac{- 2 x}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 x}{{(x + y)}^{2}}$