Calcul infinitésimal Exemples

${(x^{2} + 1)}^{3} x^{2}$

Étape 1

Développez ${(x^{2} + 1)}^{3} x^{2}$ .

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Étape 1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$\int ({(x^{2})}^{3} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3}) x^{2} d x$

Étape 1.2

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\int (x^{2} {(x^{2})}^{2} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3}) x^{2} d x$

Étape 1.3

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3}) x^{2} d x$

Étape 1.4

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3}) x^{2} d x$

Étape 1.5

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) + 1^{3}) x^{2} d x$

Étape 1.6

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) + 1 \cdot 1^{2}) x^{2} d x$

Étape 1.7

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) + 1 \cdot (1 \cdot 1)) x^{2} d x$

Étape 1.8

Appliquez la propriété distributive.

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1)) x^{2} + 1 \cdot (1 \cdot 1) x^{2} d x$

Étape 1.9

Appliquez la propriété distributive.

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 1) x^{2} + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) x^{2} + 1 \cdot (1 \cdot 1) x^{2} d x$

Étape 1.10

Appliquez la propriété distributive.

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) x^{2} + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 1 x^{2} + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) x^{2} + 1 \cdot (1 \cdot 1) x^{2} d x$

Étape 1.11

Déplacez $x^{2}$ .

$\int x^{2} x^{2} x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot 1 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) x^{2} + 1 \cdot (1 \cdot 1) x^{2} d x$

Étape 1.12

Déplacez $x^{2}$ .

$\int x^{2} x^{2} x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) x^{2} + 1 \cdot (1 \cdot 1) x^{2} d x$

Étape 1.13

Déplacez $x^{2}$ .

$\int x^{2} x^{2} x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 1 \cdot (1 \cdot 1) x^{2} d x$

Étape 1.14

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{2 + 2} x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Étape 1.15

Additionnez $2$ et $2$ .

$\int x^{4} x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Étape 1.16

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{4 + 2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Étape 1.17

Additionnez $4$ et $2$ .

$\int x^{6} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Étape 1.18

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{6 + 2} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Étape 1.19

Additionnez $6$ et $2$ .

$\int x^{8} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Étape 1.20

Multipliez $3$ par $1$ .

$\int x^{8} + 3 x^{2} x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Étape 1.21

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{8} + 3 x^{2 + 2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Étape 1.22

Additionnez $2$ et $2$ .

$\int x^{8} + 3 x^{4} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Étape 1.23

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{8} + 3 x^{4 + 2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Étape 1.24

Additionnez $4$ et $2$ .

$\int x^{8} + 3 x^{6} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Étape 1.25

Multipliez $3$ par $1$ .

$\int x^{8} + 3 x^{6} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Étape 1.26

Multipliez $3$ par $1$ .

$\int x^{8} + 3 x^{6} + 3 x^{2} x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Étape 1.27

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{8} + 3 x^{6} + 3 x^{2 + 2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Étape 1.28

Additionnez $2$ et $2$ .

$\int x^{8} + 3 x^{6} + 3 x^{4} + 1 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Étape 1.29

Multipliez $1$ par $1$ .

$\int x^{8} + 3 x^{6} + 3 x^{4} + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Étape 1.30

Multipliez $1$ par $1$ .

$\int x^{8} + 3 x^{6} + 3 x^{4} + 1 x^{2} d x$

Étape 1.31

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\int x^{8} + 3 x^{6} + 3 x^{4} + x^{2} d x$

$\int x^{8} + 3 x^{6} + 3 x^{4} + x^{2} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{8} d x + \int 3 x^{6} d x + \int 3 x^{4} d x + \int x^{2} d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{8}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{9} x^{9}$ .

$\frac{1}{9} x^{9} + C + \int 3 x^{6} d x + \int 3 x^{4} d x + \int x^{2} d x$

Étape 4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{9} x^{9} + C + 3 \int x^{6} d x + \int 3 x^{4} d x + \int x^{2} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{6}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$\frac{1}{9} x^{9} + C + 3 (\frac{1}{7} x^{7} + C) + \int 3 x^{4} d x + \int x^{2} d x$

Étape 6

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{9} x^{9} + C + 3 (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 3 \int x^{4} d x + \int x^{2} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{9} x^{9} + C + 3 (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int x^{2} d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{9} x^{9} + C + 3 (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Simplifiez

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Étape 9.1.1

Associez $\frac{1}{7}$ et $x^{7}$ .

$\frac{1}{9} x^{9} + C + 3 (\frac{x^{7}}{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Étape 9.1.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $x^{5}$ .

$\frac{1}{9} x^{9} + C + 3 (\frac{x^{7}}{7} + C) + 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C$

$\frac{1}{9} x^{9} + C + 3 (\frac{x^{7}}{7} + C) + 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Étape 9.2

Simplifiez

$\frac{x^{9}}{9} + \frac{3 x^{7}}{7} + \frac{3 x^{5}}{5} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Étape 9.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{9} x^{9} + \frac{3}{7} x^{7} + \frac{3}{5} x^{5} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

$\frac{1}{9} x^{9} + \frac{3}{7} x^{7} + \frac{3}{5} x^{5} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$