Calcul infinitésimal Exemples

$(e^{x} + 1) (e^{- x} + 1)$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Développez $(e^{x} + 1) (e^{- x} + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int e^{x} (e^{- x} + 1) + 1 (e^{- x} + 1) d x$

Étape 1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int e^{x} e^{- x} + e^{x} \cdot 1 + 1 (e^{- x} + 1) d x$

Étape 1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int e^{x} e^{- x} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{- x} + 1 \cdot 1 d x$

Étape 1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1

Multipliez $e^{x}$ par $e^{- x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int e^{x - x} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{- x} + 1 \cdot 1 d x$

Étape 1.2.1.1.2

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\int e^{0} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{- x} + 1 \cdot 1 d x$

Étape 1.2.1.2

Simplifiez $e^{0}$ .

$\int 1 + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{- x} + 1 \cdot 1 d x$

Étape 1.2.1.3

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$\int 1 + e^{x} + 1 e^{- x} + 1 \cdot 1 d x$

Étape 1.2.1.4

Multipliez $e^{- x}$ par $1$ .

$\int 1 + e^{x} + e^{- x} + 1 \cdot 1 d x$

Étape 1.2.1.5

Multipliez $1$ par $1$ .

$\int 1 + e^{x} + e^{- x} + 1 d x$

Étape 1.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int 2 + e^{x} + e^{- x} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 2 d x + \int e^{x} d x + \int e^{- x} d x$

Étape 3

Appliquez la règle de la constante.

$2 x + C + \int e^{x} d x + \int e^{- x} d x$

Étape 4

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$2 x + C + e^{x} + C + \int e^{- x} d x$

Étape 5

Laissez $u = - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Étape 5.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 5.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$2 x + C + e^{x} + C + \int - e^{u} d u$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 x + C + e^{x} + C - \int e^{u} d u$

Étape 7

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$2 x + C + e^{x} + C - (e^{u} + C)$

Étape 8

Simplifiez

$2 x + e^{x} - e^{u} + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$2 x + e^{x} - e^{- x} + C$