Calcul infinitésimal Exemples

${(2 t^{2} - 1)}^{2}$

Étape 1

Développez ${(2 t^{2} - 1)}^{2}$ .

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Étape 1.1

Réécrivez ${(2 t^{2} - 1)}^{2}$ comme $(2 t^{2} - 1) (2 t^{2} - 1)$ .

$\int (2 t^{2} - 1) (2 t^{2} - 1) d t$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int 2 t^{2} (2 t^{2} - 1) - 1 (2 t^{2} - 1) d t$

Étape 1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int 2 t^{2} (2 t^{2}) + 2 t^{2} \cdot - 1 - 1 (2 t^{2} - 1) d t$

Étape 1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\int 2 t^{2} (2 t^{2}) + 2 t^{2} \cdot - 1 - 1 (2 t^{2}) - 1 \cdot - 1 d t$

Étape 1.5

Déplacez $t^{2}$ .

$\int 2 \cdot 2 t^{2} t^{2} + 2 t^{2} \cdot - 1 - 1 (2 t^{2}) - 1 \cdot - 1 d t$

Étape 1.6

Déplacez $t^{2}$ .

$\int 2 \cdot 2 t^{2} t^{2} + 2 \cdot - 1 t^{2} - 1 (2 t^{2}) - 1 \cdot - 1 d t$

Étape 1.7

Multipliez $2$ par $2$ .

$\int 4 t^{2} t^{2} + 2 \cdot - 1 t^{2} - 1 \cdot 2 t^{2} - 1 \cdot - 1 d t$

Étape 1.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 4 t^{2 + 2} + 2 \cdot - 1 t^{2} - 1 \cdot 2 t^{2} - 1 \cdot - 1 d t$

Étape 1.9

Additionnez $2$ et $2$ .

$\int 4 t^{4} + 2 \cdot - 1 t^{2} - 1 \cdot 2 t^{2} - 1 \cdot - 1 d t$

Étape 1.10

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int 4 t^{4} - 2 t^{2} - 1 \cdot 2 t^{2} - 1 \cdot - 1 d t$

Étape 1.11

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\int 4 t^{4} - 2 t^{2} - 2 t^{2} - 1 \cdot - 1 d t$

Étape 1.12

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\int 4 t^{4} - 2 t^{2} - 2 t^{2} + 1 d t$

Étape 1.13

Soustrayez $2 t^{2}$ de $- 2 t^{2}$ .

$\int 4 t^{4} - 4 t^{2} + 1 d t$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 4 t^{4} d t + \int - 4 t^{2} d t + \int d t$

Étape 3

Comme $4$ est constant par rapport à $t$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int t^{4} d t + \int - 4 t^{2} d t + \int d t$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{4}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{5} t^{5}$ .

$4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + \int - 4 t^{2} d t + \int d t$

Étape 5

Comme $- 4$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) - 4 \int t^{2} d t + \int d t$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) - 4 (\frac{1}{3} t^{3} + C) + \int d t$

Étape 7

Appliquez la règle de la constante.

$4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) - 4 (\frac{1}{3} t^{3} + C) + t + C$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Simplifiez

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Étape 8.1.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $t^{5}$ .

$4 (\frac{t^{5}}{5} + C) - 4 (\frac{1}{3} t^{3} + C) + t + C$

Étape 8.1.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $t^{3}$ .

$4 (\frac{t^{5}}{5} + C) - 4 (\frac{t^{3}}{3} + C) + t + C$

Étape 8.2

Simplifiez

$\frac{4 t^{5}}{5} - \frac{4 t^{3}}{3} + t + C$

Étape 9

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{4}{5} t^{5} - \frac{4}{3} t^{3} + t + C$