Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{(x + 2) (2 x - 5)}{x}$

Étape 1

Appliquez la propriété distributive.

$\int \frac{x (2 x - 5) + 2 (2 x - 5)}{x} d x$

Étape 2

Appliquez la propriété distributive.

$\int \frac{x (2 x) + x \cdot - 5 + 2 (2 x - 5)}{x} d x$

Étape 3

Appliquez la propriété distributive.

$\int \frac{x (2 x) + x \cdot - 5 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 5}{x} d x$

Étape 4

Simplifiez en utilisant la commutativité.

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Étape 4.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $2$ .

$\int \frac{2 \cdot x \cdot x + x \cdot - 5 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 5}{x} d x$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $x$ et $- 5$ .

$\int \frac{2 \cdot x \cdot x - 5 \cdot x + 2 (2 x) + 2 \cdot - 5}{x} d x$

Étape 5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{2 (x^{1} x) - 5 x + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 5}{x} d x$

Étape 6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{2 (x^{1} x^{1}) - 5 x + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 5}{x} d x$

Étape 7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{2 x^{1 + 1} - 5 x + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 5}{x} d x$

Étape 8

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int \frac{2 x^{2} - 5 x + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 5}{x} d x$

Étape 8.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\int \frac{2 x^{2} - 5 x + 4 x + 2 \cdot - 5}{x} d x$

Étape 8.3

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$\int \frac{2 x^{2} - 5 x + 4 x - 10}{x} d x$

Étape 9

Additionnez $- 5 x$ et $4 x$ .

$\int \frac{2 x^{2} - x - 10}{x} d x$

Étape 10

Divisez $2 x^{2} - x - 10$ par $x$ .

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Étape 10.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$0$

$2 x^{2}$

$x$

$10$

Étape 10.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$2 x$
	$x$	+	$0$		$2 x^{2}$	-	$x$	-	$10$

Étape 10.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x$
$x$	+	$0$		$2 x^{2}$	-	$x$	-	$10$
			+	$2 x^{2}$	+	$0$

Étape 10.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{2} + 0$

				$2 x$
$x$	+	$0$		$2 x^{2}$	-	$x$	-	$10$
			-	$2 x^{2}$	-	$0$

Étape 10.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x$
$x$	+	$0$		$2 x^{2}$	-	$x$	-	$10$
			-	$2 x^{2}$	-	$0$
					-	$x$

Étape 10.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x$
$x$	+	$0$		$2 x^{2}$	-	$x$	-	$10$
			-	$2 x^{2}$	-	$0$
					-	$x$	-	$10$

Étape 10.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$2 x$	-	$1$
$x$	+	$0$		$2 x^{2}$	-	$x$	-	$10$
			-	$2 x^{2}$	-	$0$
					-	$x$	-	$10$

Étape 10.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x$	-	$1$
$x$	+	$0$		$2 x^{2}$	-	$x$	-	$10$
			-	$2 x^{2}$	-	$0$
					-	$x$	-	$10$
					-	$x$	+	$0$

Étape 10.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x + 0$

				$2 x$	-	$1$
$x$	+	$0$		$2 x^{2}$	-	$x$	-	$10$
			-	$2 x^{2}$	-	$0$
					-	$x$	-	$10$
					+	$x$	-	$0$

Étape 10.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x$	-	$1$
$x$	+	$0$		$2 x^{2}$	-	$x$	-	$10$
			-	$2 x^{2}$	-	$0$
					-	$x$	-	$10$
					+	$x$	-	$0$
							-	$10$

Étape 10.11

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int 2 x - 1 - \frac{10}{x} d x$

Étape 11

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 2 x d x + \int - 1 d x + \int - \frac{10}{x} d x$

Étape 12

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int x d x + \int - 1 d x + \int - \frac{10}{x} d x$

Étape 13

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 1 d x + \int - \frac{10}{x} d x$

Étape 14

Appliquez la règle de la constante.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - x + C + \int - \frac{10}{x} d x$

Étape 15

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C + \int - \frac{10}{x} d x$

Étape 16

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C - \int \frac{10}{x} d x$

Étape 17

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , placez $10$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C - (10 \int \frac{1}{x} d x)$

Étape 18

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C - 10 \int \frac{1}{x} d x$

Étape 19

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C - 10 (\ln (| x |) + C)$

Étape 20

Simplifiez

$x^{2} - x - 10 \ln (| x |) + C$