Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{7 - 6 x^{3} + 4 x^{6}}{x^{6}}$

Étape 1

Retirez $x^{6}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (7 - 6 x^{3} + 4 x^{6}) {(x^{6})}^{- 1} d x$

Étape 2

Multipliez les exposants dans ${(x^{6})}^{- 1}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (7 - 6 x^{3} + 4 x^{6}) x^{6 \cdot - 1} d x$

Étape 2.2

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\int (7 - 6 x^{3} + 4 x^{6}) x^{- 6} d x$

Étape 3

Développez $(7 - 6 x^{3} + 4 x^{6}) x^{- 6}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int (7 - 6 x^{3}) x^{- 6} + 4 x^{6} x^{- 6} d x$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int 7 x^{- 6} - 6 x^{3} x^{- 6} + 4 x^{6} x^{- 6} d x$

Étape 3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 7 x^{- 6} - 6 x^{3 - 6} + 4 x^{6} x^{- 6} d x$

Étape 3.4

Soustrayez $6$ de $3$ .

$\int 7 x^{- 6} - 6 x^{- 3} + 4 x^{6} x^{- 6} d x$

Étape 3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 7 x^{- 6} - 6 x^{- 3} + 4 x^{6 - 6} d x$

Étape 3.6

Soustrayez $6$ de $6$ .

$\int 7 x^{- 6} - 6 x^{- 3} + 4 x^{0} d x$

Étape 3.7

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\int 7 x^{- 6} - 6 x^{- 3} + 4 \cdot 1 d x$

Étape 3.8

Multipliez $4$ par $1$ .

$\int 7 x^{- 6} - 6 x^{- 3} + 4 d x$

Étape 3.9

Remettez dans l’ordre $7 x^{- 6}$ et $- 6 x^{- 3}$ .

$\int - 6 x^{- 3} + 7 x^{- 6} + 4 d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - 6 x^{- 3} d x + \int 7 x^{- 6} d x + \int 4 d x$

Étape 5

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 6$ en dehors de l’intégrale.

$- 6 \int x^{- 3} d x + \int 7 x^{- 6} d x + \int 4 d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- 6 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int 7 x^{- 6} d x + \int 4 d x$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Associez $x^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- 6 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int 7 x^{- 6} d x + \int 4 d x$

Étape 7.2

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int 7 x^{- 6} d x + \int 4 d x$

Étape 8

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , placez $7$ en dehors de l’intégrale.

$- 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 7 \int x^{- 6} d x + \int 4 d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 6}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{5} x^{- 5}$ .

$- 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 7 (- \frac{1}{5} x^{- 5} + C) + \int 4 d x$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Associez $x^{- 5}$ et $\frac{1}{5}$ .

$- 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 7 (- \frac{x^{- 5}}{5} + C) + \int 4 d x$

Étape 10.2

Placez $x^{- 5}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 7 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) + \int 4 d x$

Étape 11

Appliquez la règle de la constante.

$- 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 7 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) + 4 x + C$

Étape 12

Simplifiez

$\frac{3}{x^{2}} - \frac{7}{5 x^{5}} + 4 x + C$