Calcul infinitésimal Exemples

$(4 x^{3} - \csc (2 x + 3) \cot (2 x + 3) - \sqrt[5]{6 - 5 x}) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int 4 x^{3} - \csc (2 x + 3) \cot (2 x + 3) - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 4 x^{3} d x + \int - \csc (2 x + 3) \cot (2 x + 3) d x + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

Étape 3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int x^{3} d x + \int - \csc (2 x + 3) \cot (2 x + 3) d x + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - \csc (2 x + 3) \cot (2 x + 3) d x + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \int \csc (2 x + 3) \cot (2 x + 3) d x + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

Étape 6

Laissez $u_{1} = 2 x + 3$ . Alors $d u_{1} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 6.1

Laissez $u_{1} = 2 x + 3$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $2 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Étape 6.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 6.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 6.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 6.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 6.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 6.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 6.1.4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 6.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \int \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \int \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

Étape 7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $\csc (u_{1})$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \int \frac{\csc (u_{1})}{2} \cot (u_{1}) d u_{1} + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

Étape 7.3

Associez $\frac{\csc (u_{1})}{2}$ et $\cot (u_{1})$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \int \frac{\csc (u_{1}) \cot (u_{1})}{2} d u_{1} + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

Étape 8

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - (\frac{1}{2} \int \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) d u_{1}) + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

Étape 9

Comme la dérivée de $- \csc (u_{1})$ est $\csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ , l’intégrale de $\csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ est $- \csc (u_{1})$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

Étape 10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) - \int \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

Étape 11

Laissez $u_{2} = 6 - 5 x$ . Alors $d u_{2} = - 5 d x$ , donc $- \frac{1}{5} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 11.1

Laissez $u_{2} = 6 - 5 x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 11.1.1

Différenciez $6 - 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 - 5 x]$

Étape 11.1.2

Différenciez.

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Étape 11.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 - 5 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 11.1.2.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 11.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Étape 11.1.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 5 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 11.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 5 \cdot 1$

Étape 11.1.3.3

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$0 - 5$

Étape 11.1.4

Soustrayez $5$ de $0$ .

$- 5$

Étape 11.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) - \int \sqrt[5]{u_{2}} \frac{1}{- 5} d u_{2}$

Étape 12

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Étape 12.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) - \int \sqrt[5]{u_{2}} (- \frac{1}{5}) d u_{2}$

Étape 12.2

Associez $\sqrt[5]{u_{2}}$ et $\frac{1}{5}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) - \int - \frac{\sqrt[5]{u_{2}}}{5} d u_{2}$

Étape 13

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) - - \int \frac{\sqrt[5]{u_{2}}}{5} d u_{2}$

Étape 14

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Étape 14.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) + 1 \int \frac{\sqrt[5]{u_{2}}}{5} d u_{2}$

Étape 14.2

Multipliez $\int \frac{\sqrt[5]{u_{2}}}{5} d u_{2}$ par $1$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) + \int \frac{\sqrt[5]{u_{2}}}{5} d u_{2}$

Étape 15

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) + \frac{1}{5} \int \sqrt[5]{u_{2}} d u_{2}$

Étape 16

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{u_{2}}$ comme ${u_{2}}^{\frac{1}{5}}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) + \frac{1}{5} \int {u_{2}}^{\frac{1}{5}} d u_{2}$

Étape 17

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{\frac{1}{5}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{5}{6} {u_{2}}^{\frac{6}{5}}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) + \frac{1}{5} (\frac{5}{6} {u_{2}}^{\frac{6}{5}} + C)$

Étape 18

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Étape 18.1

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$x^{4} + \frac{\csc (u_{1})}{2} + \frac{1}{5} (\frac{5}{6} {u_{2}}^{\frac{6}{5}}) + C$

Étape 18.2

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Étape 18.2.1

Associez $\frac{5}{6}$ et ${u_{2}}^{\frac{6}{5}}$ .

$x^{4} + \frac{\csc (u_{1})}{2} + \frac{1}{5} \cdot \frac{5 {u_{2}}^{\frac{6}{5}}}{6} + C$

Étape 18.2.2

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{5 {u_{2}}^{\frac{6}{5}}}{6}$ .

$x^{4} + \frac{\csc (u_{1})}{2} + \frac{5 {u_{2}}^{\frac{6}{5}}}{5 \cdot 6} + C$

Étape 18.2.3

Multipliez $5$ par $6$ .

$x^{4} + \frac{\csc (u_{1})}{2} + \frac{5 {u_{2}}^{\frac{6}{5}}}{30} + C$

Étape 18.2.4

Factorisez $5$ à partir de $5 {u_{2}}^{\frac{6}{5}}$ .

$x^{4} + \frac{\csc (u_{1})}{2} + \frac{5 ({u_{2}}^{\frac{6}{5}})}{30} + C$

Étape 18.2.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 18.2.5.1

Factorisez $5$ à partir de $30$ .

$x^{4} + \frac{\csc (u_{1})}{2} + \frac{5 {u_{2}}^{\frac{6}{5}}}{5 \cdot 6} + C$

Étape 18.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$x^{4} + \frac{\csc (u_{1})}{2} + \frac{5 {u_{2}}^{\frac{6}{5}}}{5 \cdot 6} + C$

Étape 18.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$x^{4} + \frac{\csc (u_{1})}{2} + \frac{{u_{2}}^{\frac{6}{5}}}{6} + C$

Étape 19

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 19.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x + 3$ .

$x^{4} + \frac{\csc (2 x + 3)}{2} + \frac{{u_{2}}^{\frac{6}{5}}}{6} + C$

Étape 19.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $6 - 5 x$ .

$x^{4} + \frac{\csc (2 x + 3)}{2} + \frac{{(6 - 5 x)}^{\frac{6}{5}}}{6} + C$

Étape 20

Remettez les termes dans l’ordre.

$x^{4} + \frac{1}{2} \csc (2 x + 3) + \frac{1}{6} {(6 - 5 x)}^{\frac{6}{5}} + C$