Calcul infinitésimal Exemples

$(x^{3} + x^{2}) v (\frac{5 x^{4}}{2} + \frac{10 x^{3}}{3})$

Étape 1

Comme $v$ est constant par rapport à $x$ , placez $v$ en dehors de l’intégrale.

$v \int (x^{3} + x^{2}) (\frac{5 x^{4}}{2} + \frac{10 x^{3}}{3}) d x$

Étape 2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$v \int x^{3} (\frac{5 x^{4}}{2} + \frac{10 x^{3}}{3}) + x^{2} (\frac{5 x^{4}}{2} + \frac{10 x^{3}}{3}) d x$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$v \int x^{3} \frac{5 x^{4}}{2} + x^{3} \frac{10 x^{3}}{3} + x^{2} (\frac{5 x^{4}}{2} + \frac{10 x^{3}}{3}) d x$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$v \int x^{3} \frac{5 x^{4}}{2} + x^{3} \frac{10 x^{3}}{3} + x^{2} \frac{5 x^{4}}{2} + x^{2} \frac{10 x^{3}}{3} d x$

Étape 2.4

Associez $x^{3}$ et $\frac{5 x^{4}}{2}$ .

$v \int \frac{x^{3} (5 x^{4})}{2} + x^{3} \frac{10 x^{3}}{3} + x^{2} \frac{5 x^{4}}{2} + x^{2} \frac{10 x^{3}}{3} d x$

Étape 2.5

Associez $x^{3}$ et $\frac{10 x^{3}}{3}$ .

$v \int \frac{x^{3} (5 x^{4})}{2} + \frac{x^{3} (10 x^{3})}{3} + x^{2} \frac{5 x^{4}}{2} + x^{2} \frac{10 x^{3}}{3} d x$

Étape 2.6

Associez $x^{2}$ et $\frac{5 x^{4}}{2}$ .

$v \int \frac{x^{3} (5 x^{4})}{2} + \frac{x^{3} (10 x^{3})}{3} + \frac{x^{2} (5 x^{4})}{2} + x^{2} \frac{10 x^{3}}{3} d x$

Étape 2.7

Associez $x^{2}$ et $\frac{10 x^{3}}{3}$ .

$v \int \frac{x^{3} (5 x^{4})}{2} + \frac{x^{3} (10 x^{3})}{3} + \frac{x^{2} (5 x^{4})}{2} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

Étape 3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez $x^{3}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Déplacez $x^{4}$ .

$v \int \frac{x^{4} x^{3} \cdot 5}{2} + \frac{x^{3} (10 x^{3})}{3} + \frac{x^{2} (5 x^{4})}{2} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

Étape 3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$v \int \frac{x^{4 + 3} \cdot 5}{2} + \frac{x^{3} (10 x^{3})}{3} + \frac{x^{2} (5 x^{4})}{2} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

Étape 3.1.3

Additionnez $4$ et $3$ .

$v \int \frac{x^{7} \cdot 5}{2} + \frac{x^{3} (10 x^{3})}{3} + \frac{x^{2} (5 x^{4})}{2} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

Étape 3.2

Déplacez $5$ à gauche de $x^{7}$ .

$v \int \frac{5 \cdot x^{7}}{2} + \frac{x^{3} (10 x^{3})}{3} + \frac{x^{2} (5 x^{4})}{2} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

Étape 3.3

Multipliez $x^{3}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Déplacez $x^{3}$ .

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{x^{3} x^{3} \cdot 10}{3} + \frac{x^{2} (5 x^{4})}{2} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

Étape 3.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{x^{3 + 3} \cdot 10}{3} + \frac{x^{2} (5 x^{4})}{2} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

Étape 3.3.3

Additionnez $3$ et $3$ .

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{x^{6} \cdot 10}{3} + \frac{x^{2} (5 x^{4})}{2} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

Étape 3.4

Déplacez $10$ à gauche de $x^{6}$ .

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{10 \cdot x^{6}}{3} + \frac{x^{2} (5 x^{4})}{2} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

Étape 3.5

Multipliez $x^{2}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Déplacez $x^{4}$ .

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{10 x^{6}}{3} + \frac{x^{4} x^{2} \cdot 5}{2} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

Étape 3.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{10 x^{6}}{3} + \frac{x^{4 + 2} \cdot 5}{2} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

Étape 3.5.3

Additionnez $4$ et $2$ .

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{10 x^{6}}{3} + \frac{x^{6} \cdot 5}{2} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

Étape 3.6

Déplacez $5$ à gauche de $x^{6}$ .

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{10 x^{6}}{3} + \frac{5 \cdot x^{6}}{2} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

Étape 3.7

Pour écrire $\frac{10 x^{6}}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{10 x^{6}}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{5 x^{6}}{2} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

Étape 3.8

Pour écrire $\frac{5 x^{6}}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{10 x^{6}}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{5 x^{6}}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

Étape 3.9

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.9.1

Multipliez $\frac{10 x^{6}}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{10 x^{6} \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{5 x^{6}}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

Étape 3.9.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{10 x^{6} \cdot 2}{6} + \frac{5 x^{6}}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

Étape 3.9.3

Multipliez $\frac{5 x^{6}}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{10 x^{6} \cdot 2}{6} + \frac{5 x^{6} \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

Étape 3.9.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{10 x^{6} \cdot 2}{6} + \frac{5 x^{6} \cdot 3}{6} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

Étape 3.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{10 x^{6} \cdot 2 + 5 x^{6} \cdot 3}{6} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

Étape 3.11

Multipliez $2$ par $10$ .

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{20 x^{6} + 5 x^{6} \cdot 3}{6} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

Étape 3.12

Multipliez $3$ par $5$ .

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{20 x^{6} + 15 x^{6}}{6} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

Étape 3.13

Additionnez $20 x^{6}$ et $15 x^{6}$ .

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{35 x^{6}}{6} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

Étape 3.14

Multipliez $x^{2}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.14.1

Déplacez $x^{3}$ .

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{35 x^{6}}{6} + \frac{x^{3} x^{2} \cdot 10}{3} d x$

Étape 3.14.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{35 x^{6}}{6} + \frac{x^{3 + 2} \cdot 10}{3} d x$

Étape 3.14.3

Additionnez $3$ et $2$ .

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{35 x^{6}}{6} + \frac{x^{5} \cdot 10}{3} d x$

Étape 3.15

Déplacez $10$ à gauche de $x^{5}$ .

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{35 x^{6}}{6} + \frac{10 x^{5}}{3} d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$v (\int \frac{5 x^{7}}{2} d x + \int \frac{35 x^{6}}{6} d x + \int \frac{10 x^{5}}{3} d x)$

Étape 5

Comme $\frac{5}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{5}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$v (\frac{5}{2} \int x^{7} d x + \int \frac{35 x^{6}}{6} d x + \int \frac{10 x^{5}}{3} d x)$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{7}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{8} x^{8}$ .

$v (\frac{5}{2} (\frac{1}{8} x^{8} + C) + \int \frac{35 x^{6}}{6} d x + \int \frac{10 x^{5}}{3} d x)$

Étape 7

Associez $\frac{1}{8}$ et $x^{8}$ .

$v (\frac{5}{2} (\frac{x^{8}}{8} + C) + \int \frac{35 x^{6}}{6} d x + \int \frac{10 x^{5}}{3} d x)$

Étape 8

Comme $\frac{35}{6}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{35}{6}$ en dehors de l’intégrale.

$v (\frac{5}{2} (\frac{x^{8}}{8} + C) + \frac{35}{6} \int x^{6} d x + \int \frac{10 x^{5}}{3} d x)$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{6}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$v (\frac{5}{2} (\frac{x^{8}}{8} + C) + \frac{35}{6} (\frac{1}{7} x^{7} + C) + \int \frac{10 x^{5}}{3} d x)$

Étape 10

Associez $\frac{1}{7}$ et $x^{7}$ .

$v (\frac{5}{2} (\frac{x^{8}}{8} + C) + \frac{35}{6} (\frac{x^{7}}{7} + C) + \int \frac{10 x^{5}}{3} d x)$

Étape 11

Comme $\frac{10}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{10}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$v (\frac{5}{2} (\frac{x^{8}}{8} + C) + \frac{35}{6} (\frac{x^{7}}{7} + C) + \frac{10}{3} \int x^{5} d x)$

Étape 12

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$v (\frac{5}{2} (\frac{x^{8}}{8} + C) + \frac{35}{6} (\frac{x^{7}}{7} + C) + \frac{10}{3} (\frac{1}{6} x^{6} + C))$

Étape 13

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Associez $\frac{1}{6}$ et $x^{6}$ .

$v (\frac{5}{2} (\frac{x^{8}}{8} + C) + \frac{35}{6} (\frac{x^{7}}{7} + C) + \frac{10}{3} (\frac{x^{6}}{6} + C))$

Étape 13.2

Simplifiez

$v (\frac{5 x^{8}}{16} + \frac{5 x^{7}}{6} + \frac{5 x^{6}}{9}) + C$

Étape 13.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$v (\frac{5}{16} x^{8} + \frac{5}{6} x^{7} + \frac{5}{9} x^{6}) + C$