Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = e^{- 3 x} \sin (16 x)$

Étape 1

Remettez dans l’ordre $e^{- 3 x}$ et $\sin (16 x)$ .

$\int \sin (16 x) e^{- 3 x} d x$

Étape 2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \sin (16 x)$ et $d v = e^{- 3 x}$ .

$\sin (16 x) (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} (16 \cos (16 x)) d x$

Étape 3

Comme $- \frac{1}{3} \cdot 16$ est constant par rapport à $x$ , placez $- \frac{1}{3} \cdot 16$ en dehors de l’intégrale.

$\sin (16 x) (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) - (- \frac{1}{3} \cdot 16 \int e^{- 3 x} (\cos (16 x)) d x)$

Étape 4

Associez les fractions.

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Étape 4.1

Associez $e^{- 3 x}$ et $\frac{1}{3}$ .

$\sin (16 x) (- \frac{e^{- 3 x}}{3}) - (- \frac{1}{3} \cdot 16 \int e^{- 3 x} (\cos (16 x)) d x)$

Étape 4.2

Associez $\sin (16 x)$ et $\frac{e^{- 3 x}}{3}$ .

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} - (- \frac{1}{3} \cdot 16 \int e^{- 3 x} (\cos (16 x)) d x)$

Étape 4.3

Multipliez $16$ par $- 1$ .

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} - (- 16 (\frac{1}{3}) \int e^{- 3 x} (\cos (16 x)) d x)$

Étape 4.4

Associez $- 16$ et $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 16}{3} \int e^{- 3 x} (\cos (16 x)) d x)$

Étape 4.5

Remettez dans l’ordre $e^{- 3 x}$ et $\cos (16 x)$ .

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 16}{3} \int \cos (16 x) e^{- 3 x} d x)$

Étape 5

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \cos (16 x)$ et $d v = e^{- 3 x}$ .

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 16}{3} (\cos (16 x) (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} (- 16 \sin (16 x)) d x))$

Étape 6

Comme $- \frac{1}{3} \cdot - 16$ est constant par rapport à $x$ , placez $- \frac{1}{3} \cdot - 16$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 16}{3} (\cos (16 x) (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) - (- \frac{1}{3} \cdot - 16 \int e^{- 3 x} (\sin (16 x)) d x)))$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Associez $e^{- 3 x}$ et $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 16}{3} (\cos (16 x) (- \frac{e^{- 3 x}}{3}) - (- \frac{1}{3} \cdot - 16 \int e^{- 3 x} (\sin (16 x)) d x)))$

Étape 7.2

Associez $\cos (16 x)$ et $\frac{e^{- 3 x}}{3}$ .

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 16}{3} (- \frac{\cos (16 x) e^{- 3 x}}{3} - (- \frac{1}{3} \cdot - 16 \int e^{- 3 x} (\sin (16 x)) d x)))$

Étape 7.3

Multipliez $- 16$ par $- 1$ .

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 16}{3} (- \frac{\cos (16 x) e^{- 3 x}}{3} - (16 (\frac{1}{3}) \int e^{- 3 x} (\sin (16 x)) d x)))$

Étape 7.4

Associez $16$ et $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 16}{3} (- \frac{\cos (16 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{16}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (16 x)) d x)))$

Étape 7.5

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} - \frac{- 16}{3} (- \frac{\cos (16 x) e^{- 3 x}}{3}) - \frac{- 16}{3} (- (\frac{16}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (16 x)) d x))$

Étape 7.6

Multipliez.

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Étape 7.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} + 1 (\frac{- 16}{3}) \frac{\cos (16 x) e^{- 3 x}}{3} - \frac{- 16}{3} (- (\frac{16}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (16 x)) d x))$

Étape 7.6.2

Multipliez $\frac{- 16}{3}$ par $1$ .

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 16}{3} \cdot \frac{\cos (16 x) e^{- 3 x}}{3} - \frac{- 16}{3} (- (\frac{16}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (16 x)) d x))$

Étape 7.7

Multipliez $\frac{- 16}{3}$ par $\frac{\cos (16 x) e^{- 3 x}}{3}$ .

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 16 (\cos (16 x) e^{- 3 x})}{3 \cdot 3} - \frac{- 16}{3} (- (\frac{16}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (16 x)) d x))$

Étape 7.8

Multipliez.

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Étape 7.8.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 16 (\cos (16 x) e^{- 3 x})}{9} - \frac{- 16}{3} (- (\frac{16}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (16 x)) d x))$

Étape 7.8.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 16 (\cos (16 x) e^{- 3 x})}{9} + 1 (\frac{- 16}{3}) (\frac{16}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (16 x)) d x)$

Étape 7.8.3

Multipliez $\frac{- 16}{3}$ par $1$ .

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 16 (\cos (16 x) e^{- 3 x})}{9} + \frac{- 16}{3} (\frac{16}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (16 x)) d x)$

Étape 7.9

Multipliez $\frac{16}{3}$ par $\frac{- 16}{3}$ .

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 16 (\cos (16 x) e^{- 3 x})}{9} + \frac{16 \cdot - 16}{3 \cdot 3} \int e^{- 3 x} (\sin (16 x)) d x$

Étape 7.10

Multipliez.

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Étape 7.10.1

Multipliez $16$ par $- 16$ .

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 16 (\cos (16 x) e^{- 3 x})}{9} + \frac{- 256}{3 \cdot 3} \int e^{- 3 x} (\sin (16 x)) d x$

Étape 7.10.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 16 (\cos (16 x) e^{- 3 x})}{9} + \frac{- 256}{9} \int e^{- 3 x} (\sin (16 x)) d x$

Étape 8

En résolvant $\int e^{- 3 x} \sin (16 x) d x$ , nous trouvons que $\int e^{- 3 x} \sin (16 x) d x$ = $\frac{- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 16 (\cos (16 x) e^{- 3 x})}{9}}{\frac{265}{9}}$ .

$\frac{- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 16 (\cos (16 x) e^{- 3 x})}{9}}{\frac{265}{9}} + C$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Simplifiez

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Étape 9.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} - \frac{16 \cos (16 x) e^{- 3 x}}{9}}{\frac{265}{9}} + C$

Étape 9.1.2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{265}{9}$ .

$(- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} - \frac{16 \cos (16 x) e^{- 3 x}}{9}) \frac{9}{265} + C$

Étape 9.2

Réécrivez $(- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} - \frac{16 \cos (16 x) e^{- 3 x}}{9}) \frac{9}{265} + C$ comme $(- \frac{1}{3} \sin (16 x) e^{- 3 x} - \frac{16}{9} \cos (16 x) e^{- 3 x}) \frac{9}{265} + C$ .

$(- \frac{1}{3} \sin (16 x) e^{- 3 x} - \frac{16}{9} \cos (16 x) e^{- 3 x}) \frac{9}{265} + C$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Associez $\sin (16 x)$ et $\frac{1}{3}$ .

$(- \frac{\sin (16 x)}{3} e^{- 3 x} - \frac{16}{9} \cos (16 x) e^{- 3 x}) \frac{9}{265} + C$

Étape 9.3.2

Associez $e^{- 3 x}$ et $\frac{\sin (16 x)}{3}$ .

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (16 x)}{3} - \frac{16}{9} \cos (16 x) e^{- 3 x}) \frac{9}{265} + C$

Étape 9.3.3

Associez $\cos (16 x)$ et $\frac{16}{9}$ .

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (16 x)}{3} - \frac{\cos (16 x) \cdot 16}{9} e^{- 3 x}) \frac{9}{265} + C$

Étape 9.3.4

Associez $e^{- 3 x}$ et $\frac{\cos (16 x) \cdot 16}{9}$ .

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (16 x)}{3} - \frac{e^{- 3 x} (\cos (16 x) \cdot 16)}{9}) \frac{9}{265} + C$

Étape 9.3.5

Déplacez $16$ à gauche de $\cos (16 x)$ .

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (16 x)}{3} - \frac{e^{- 3 x} (16 \cos (16 x))}{9}) \frac{9}{265} + C$

Étape 9.4

Simplifiez

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Étape 9.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.4.1.1

Réécrivez.

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (16 x)}{3} - \frac{e^{- 3 x} (\cos (16 x) \cdot 16)}{9}) \frac{9}{265} + C$

Étape 9.4.1.2

Déplacez $16$ à gauche de $\cos (16 x)$ .

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (16 x)}{3} - \frac{e^{- 3 x} (16 \cdot \cos (16 x))}{9}) \frac{9}{265} + C$

Étape 9.4.1.3

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (16 x)}{3} - \frac{e^{- 3 x} \cdot 16 \cos (16 x)}{9}) \frac{9}{265} + C$

Étape 9.4.2

Déplacez $16$ à gauche de $e^{- 3 x}$ .

$(- \frac{1}{3} e^{- 3 x} \sin (16 x) - \frac{16}{9} e^{- 3 x} \cos (16 x)) \frac{9}{265} + C$