Calcul infinitésimal Exemples

$x^{8} e^{x} - 7$

Étape 1

Écrivez $x^{8} e^{x} - 7$ comme une fonction.

$f (x) = x^{8} e^{x} - 7$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{8} e^{x} - 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{8} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{8} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{8} e^{x}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{8}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$x^{8} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{8} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 8$ .

$x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7}) + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 2.3

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7}) + 0$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Additionnez $x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7})$ et $0$ .

$x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7})$

Étape 2.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{x} x^{8} + 8 e^{x} x^{7}$

Étape 2.4.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} x^{8} + 8 e^{x} x^{7}$ .

$x^{8} e^{x} + 8 x^{7} e^{x}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{8} e^{x} + 8 x^{7} e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{8} e^{x}] + \frac{d}{d x} [8 x^{7} e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{8} e^{x}) + \frac{d}{d x} (8 x^{7} e^{x})$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{8} e^{x}]$ .

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Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{8}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{8} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{8}) + \frac{d}{d x} (8 x^{7} e^{x})$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x^{8} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{8}) + \frac{d}{d x} (8 x^{7} e^{x})$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 8$ .

$f'' (x) = x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7}) + \frac{d}{d x} (8 x^{7} e^{x})$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x^{7} e^{x}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{7} e^{x}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x^{7} e^{x}]$ .

$f'' (x) = x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7}) + 8 \frac{d}{d x} (x^{7} e^{x})$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{7}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7}) + 8 (x^{7} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{7}))$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7}) + 8 (x^{7} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{7}))$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$f'' (x) = x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7}) + 8 (x^{7} e^{x} + e^{x} (7 x^{6}))$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7}) + 8 (x^{7} e^{x}) + 8 (e^{x} (7 x^{6}))$

Étape 3.4.2

Associez des termes.

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Étape 3.4.2.1

Multipliez $7$ par $8$ .

$f'' (x) = x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7}) + 8 x^{7} e^{x} + 56 (e^{x} (x^{6}))$

Étape 3.4.2.2

Additionnez $e^{x} (8 x^{7})$ et $8 x^{7} e^{x}$ .

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Étape 3.4.2.2.1

Déplacez $e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{8} e^{x} + 8 x^{7} e^{x} + 8 x^{7} e^{x} + 56 e^{x} x^{6}$

Étape 3.4.2.2.2

Additionnez $8 x^{7} e^{x}$ et $8 x^{7} e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{8} e^{x} + 16 x^{7} e^{x} + 56 e^{x} x^{6}$

Étape 3.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = e^{x} x^{8} + 16 e^{x} x^{7} + 56 e^{x} x^{6}$

Étape 3.4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} x^{8} + 16 e^{x} x^{7} + 56 e^{x} x^{6}$ .

$f'' (x) = x^{8} e^{x} + 16 x^{7} e^{x} + 56 x^{6} e^{x}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$x^{8} e^{x} + 8 x^{7} e^{x} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{8} e^{x} - 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{8} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{8} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{8} e^{x}]$ .

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Étape 5.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{8}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$x^{8} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{8} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 5.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 8$ .

$x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7}) + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 5.1.3

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7}) + 0$

Étape 5.1.4

Simplifiez

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Étape 5.1.4.1

Additionnez $x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7})$ et $0$ .

$x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7})$

Étape 5.1.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{x} x^{8} + 8 e^{x} x^{7}$

Étape 5.1.4.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} x^{8} + 8 e^{x} x^{7}$ .

$f' (x) = x^{8} e^{x} + 8 x^{7} e^{x}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{8} e^{x} + 8 x^{7} e^{x}$ .

$x^{8} e^{x} + 8 x^{7} e^{x}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{8} e^{x} + 8 x^{7} e^{x} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$x^{8} e^{x} + 8 x^{7} e^{x} = 0$

Étape 6.2

Factorisez $x^{7} e^{x}$ à partir de $x^{8} e^{x} + 8 x^{7} e^{x}$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $x^{7} e^{x}$ à partir de $x^{8} e^{x}$ .

$x^{7} e^{x} (x) + 8 x^{7} e^{x} = 0$

Étape 6.2.2

Factorisez $x^{7} e^{x}$ à partir de $8 x^{7} e^{x}$ .

$x^{7} e^{x} (x) + x^{7} e^{x} (8) = 0$

Étape 6.2.3

Factorisez $x^{7} e^{x}$ à partir de $x^{7} e^{x} (x) + x^{7} e^{x} (8)$ .

$x^{7} e^{x} (x + 8) = 0$

Étape 6.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{7} = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 8 = 0$

Étape 6.4

Définissez $x^{7}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.4.1

Définissez $x^{7}$ égal à $0$ .

$x^{7} = 0$

Étape 6.4.2

Résolvez $x^{7} = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[7]{0}$

Étape 6.4.2.2

Simplifiez $\sqrt[7]{0}$ .

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Étape 6.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{7}$ .

$x = \sqrt[7]{0^{7}}$

Étape 6.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 6.5

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ .

$e^{x} = 0$

Étape 6.5.2

Résolvez $e^{x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.5.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Étape 6.5.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 6.5.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = 0$

Aucune solution

Étape 6.6

Définissez $x + 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.6.1

Définissez $x + 8$ égal à $0$ .

$x + 8 = 0$

Étape 6.6.2

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 8$

Étape 6.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x^{7} e^{x} (x + 8) = 0$ vraie.

$x = 0, - 8$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 0, - 8$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

${(0)}^{8} e^{0} + 16 {(0)}^{7} e^{0} + 56 {(0)}^{6} e^{0}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 e^{0} + 16 {(0)}^{7} e^{0} + 56 {(0)}^{6} e^{0}$

Étape 10.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 \cdot 1 + 16 {(0)}^{7} e^{0} + 56 {(0)}^{6} e^{0}$

Étape 10.1.3

Multipliez $0$ par $1$ .

$0 + 16 {(0)}^{7} e^{0} + 56 {(0)}^{6} e^{0}$

Étape 10.1.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 16 \cdot 0 e^{0} + 56 {(0)}^{6} e^{0}$

Étape 10.1.5

Multipliez $16$ par $0$ .

$0 + 0 e^{0} + 56 {(0)}^{6} e^{0}$

Étape 10.1.6

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 + 0 \cdot 1 + 56 {(0)}^{6} e^{0}$

Étape 10.1.7

Multipliez $0$ par $1$ .

$0 + 0 + 56 {(0)}^{6} e^{0}$

Étape 10.1.8

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 0 + 56 \cdot 0 e^{0}$

Étape 10.1.9

Multipliez $56$ par $0$ .

$0 + 0 + 0 e^{0}$

Étape 10.1.10

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 + 0 + 0 \cdot 1$

Étape 10.1.11

Multipliez $0$ par $1$ .

$0 + 0 + 0$

Étape 10.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 10.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 0$

Étape 10.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 11

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 11.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 8) \cup (- 8, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 11.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 10$ , de l’intervalle $(- \infty, - 8)$ dans la dérivée première $x^{8} e^{x} + 8 x^{7} e^{x}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 11.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 10$ dans l’expression.

$f' (- 10) = {(- 10)}^{8} e^{- 10} + 8 {(- 10)}^{7} e^{- 10}$

Étape 11.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.2.1.1

Élevez $- 10$ à la puissance $8$ .

$f' (- 10) = 100000000 e^{- 10} + 8 {(- 10)}^{7} e^{- 10}$

Étape 11.2.2.1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 10) = 100000000 (\frac{1}{e^{10}}) + 8 {(- 10)}^{7} e^{- 10}$

Étape 11.2.2.1.3

Associez $100000000$ et $\frac{1}{e^{10}}$ .

$f' (- 10) = \frac{100000000}{e^{10}} + 8 {(- 10)}^{7} e^{- 10}$

Étape 11.2.2.1.4

Élevez $- 10$ à la puissance $7$ .

$f' (- 10) = \frac{100000000}{e^{10}} + 8 \cdot (- 10000000 e^{- 10})$

Étape 11.2.2.1.5

Multipliez $8$ par $- 10000000$ .

$f' (- 10) = \frac{100000000}{e^{10}} - 80000000 e^{- 10}$

Étape 11.2.2.1.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 10) = \frac{100000000}{e^{10}} - 80000000 \frac{1}{e^{10}}$

Étape 11.2.2.1.7

Associez $- 80000000$ et $\frac{1}{e^{10}}$ .

$f' (- 10) = \frac{100000000}{e^{10}} + \frac{- 80000000}{e^{10}}$

Étape 11.2.2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 10) = \frac{100000000}{e^{10}} - \frac{80000000}{e^{10}}$

Étape 11.2.2.2

Associez les fractions.

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Étape 11.2.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (- 10) = \frac{100000000 - 80000000}{e^{10}}$

Étape 11.2.2.2.2

Soustrayez $80000000$ de $100000000$ .

$f' (- 10) = \frac{20000000}{e^{10}}$

Étape 11.2.2.3

La réponse finale est $\frac{20000000}{e^{10}}$ .

$\frac{20000000}{e^{10}}$

Étape 11.3

Remplacez tout nombre, tel que $- 4$ , de l’intervalle $(- 8, 0)$ dans la dérivée première $x^{8} e^{x} + 8 x^{7} e^{x}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 11.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f' (- 4) = {(- 4)}^{8} e^{- 4} + 8 {(- 4)}^{7} e^{- 4}$

Étape 11.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.3.2.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $8$ .

$f' (- 4) = 65536 e^{- 4} + 8 {(- 4)}^{7} e^{- 4}$

Étape 11.3.2.1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 4) = 65536 (\frac{1}{e^{4}}) + 8 {(- 4)}^{7} e^{- 4}$

Étape 11.3.2.1.3

Associez $65536$ et $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f' (- 4) = \frac{65536}{e^{4}} + 8 {(- 4)}^{7} e^{- 4}$

Étape 11.3.2.1.4

Élevez $- 4$ à la puissance $7$ .

$f' (- 4) = \frac{65536}{e^{4}} + 8 \cdot (- 16384 e^{- 4})$

Étape 11.3.2.1.5

Multipliez $8$ par $- 16384$ .

$f' (- 4) = \frac{65536}{e^{4}} - 131072 e^{- 4}$

Étape 11.3.2.1.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 4) = \frac{65536}{e^{4}} - 131072 \frac{1}{e^{4}}$

Étape 11.3.2.1.7

Associez $- 131072$ et $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f' (- 4) = \frac{65536}{e^{4}} + \frac{- 131072}{e^{4}}$

Étape 11.3.2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 4) = \frac{65536}{e^{4}} - \frac{131072}{e^{4}}$

Étape 11.3.2.2

Associez les fractions.

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Étape 11.3.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (- 4) = \frac{65536 - 131072}{e^{4}}$

Étape 11.3.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.3.2.2.2.1

Soustrayez $131072$ de $65536$ .

$f' (- 4) = \frac{- 65536}{e^{4}}$

Étape 11.3.2.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 4) = - \frac{65536}{e^{4}}$

Étape 11.3.2.3

La réponse finale est $- \frac{65536}{e^{4}}$ .

$- \frac{65536}{e^{4}}$

Étape 11.4

Remplacez tout nombre, tel que $2$ , de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée première $x^{8} e^{x} + 8 x^{7} e^{x}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 11.4.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = {(2)}^{8} e^{2} + 8 {(2)}^{7} e^{2}$

Étape 11.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.4.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $8$ .

$f' (2) = 256 e^{2} + 8 {(2)}^{7} e^{2}$

Étape 11.4.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $7$ .

$f' (2) = 256 e^{2} + 8 \cdot (128 e^{2})$

Étape 11.4.2.1.3

Multipliez $8$ par $128$ .

$f' (2) = 256 e^{2} + 1024 e^{2}$

Étape 11.4.2.2

Additionnez $256 e^{2}$ et $1024 e^{2}$ .

$f' (2) = 1280 e^{2}$

Étape 11.4.2.3

La réponse finale est $1280 e^{2}$ .

$1280 e^{2}$

Étape 11.5

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = - 8$ , $x = - 8$ est un maximum local.

$x = - 8$ est un maximum local

Étape 11.6

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 0$ , $x = 0$ est un minimum local.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 11.7

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{8} e^{x} - 7$ .

$x = - 8$ est un maximum local

$x = 0$ est un minimum local

$x = - 8$ est un maximum local

$x = 0$ est un minimum local

Étape 12