Calcul infinitésimal Exemples

$x^{3} - 14 x^{2} + 49 x$

Étape 1

Écrivez $x^{3} - 14 x^{2} + 49 x$ comme une fonction.

$f (x) = x^{3} - 14 x^{2} + 49 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 14 x^{2} + 49 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 14 x^{2}] + \frac{d}{d x} [49 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 14 x^{2}] + \frac{d}{d x} [49 x]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 14 x^{2}] + \frac{d}{d x} [49 x]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 14 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 14$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 14 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 14 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 14 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49 x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} - 14 (2 x) + \frac{d}{d x} [49 x]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $- 14$ .

$3 x^{2} - 28 x + \frac{d}{d x} [49 x]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [49 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $49$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $49 x$ par rapport à $x$ est $49 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 28 x + 49 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} - 28 x + 49 \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $49$ par $1$ .

$3 x^{2} - 28 x + 49$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 28 x + 49$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 28 x] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 28 x) + \frac{d}{d x} (49)$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 28 x) + \frac{d}{d x} (49)$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 28 x) + \frac{d}{d x} (49)$

Étape 3.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 28 x) + \frac{d}{d x} (49)$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 28 x]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 28$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 28 x$ par rapport à $x$ est $- 28 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 28 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (49)$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 28 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (49)$

Étape 3.3.3

Multipliez $- 28$ par $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 28 + \frac{d}{d x} (49)$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.4.1

Comme $49$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $49$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 28 + 0$

Étape 3.4.2

Additionnez $6 x - 28$ et $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 28$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$3 x^{2} - 28 x + 49 = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Différenciez.

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Étape 5.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 14 x^{2} + 49 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 14 x^{2}] + \frac{d}{d x} [49 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 14 x^{2}] + \frac{d}{d x} [49 x]$

Étape 5.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 14 x^{2}] + \frac{d}{d x} [49 x]$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 14 x^{2}]$ .

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Étape 5.1.2.1

Comme $- 14$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 14 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 14 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 14 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49 x]$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} - 14 (2 x) + \frac{d}{d x} [49 x]$

Étape 5.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 14$ .

$3 x^{2} - 28 x + \frac{d}{d x} [49 x]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [49 x]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $49$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $49 x$ par rapport à $x$ est $49 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 28 x + 49 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} - 28 x + 49 \cdot 1$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $49$ par $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 28 x + 49$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 28 x + 49$ .

$3 x^{2} - 28 x + 49$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 28 x + 49 = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} - 28 x + 49 = 0$

Étape 6.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 6.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot 49 = 147$ et dont la somme est $b = - 28$ .

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Étape 6.2.1.1

Factorisez $- 28$ à partir de $- 28 x$ .

$3 x^{2} - 28 x + 49 = 0$

Étape 6.2.1.2

Réécrivez $- 28$ comme $- 7$ plus $- 21$

$3 x^{2} + (- 7 - 21) x + 49 = 0$

Étape 6.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} - 7 x - 21 x + 49 = 0$

Étape 6.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 6.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 x^{2} - 7 x) - 21 x + 49 = 0$

Étape 6.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (3 x - 7) - 7 (3 x - 7) = 0$

Étape 6.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x - 7$ .

$(3 x - 7) (x - 7) = 0$

Étape 6.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x - 7 = 0$

$x - 7 = 0$

Étape 6.4

Définissez $3 x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.4.1

Définissez $3 x - 7$ égal à $0$ .

$3 x - 7 = 0$

Étape 6.4.2

Résolvez $3 x - 7 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.4.2.1

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 7$

Étape 6.4.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 7$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 6.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 7$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Étape 6.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Étape 6.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{7}{3}$

Étape 6.5

Définissez $x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Définissez $x - 7$ égal à $0$ .

$x - 7 = 0$

Étape 6.5.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$

Étape 6.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x - 7) (x - 7) = 0$ vraie.

$x = \frac{7}{3}, 7$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{7}{3}, 7$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{7}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (\frac{7}{3}) - 28$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 10.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$3 (2) \frac{7}{3} - 28$

Étape 10.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot 2 \frac{7}{3} - 28$

Étape 10.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$2 \cdot 7 - 28$

Étape 10.1.2

Multipliez $2$ par $7$ .

$14 - 28$

Étape 10.2

Soustrayez $28$ de $14$ .

$- 14$

Étape 11

$x = \frac{7}{3}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{7}{3}$ est un maximum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{7}{3}$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{7}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{7}{3}) = {(\frac{7}{3})}^{3} - 14 {(\frac{7}{3})}^{2} + 49 (\frac{7}{3})$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{7}{3}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{7^{3}}{3^{3}} - 14 {(\frac{7}{3})}^{2} + 49 (\frac{7}{3})$

Étape 12.2.1.2

Élevez $7$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{3^{3}} - 14 {(\frac{7}{3})}^{2} + 49 (\frac{7}{3})$

Étape 12.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - 14 {(\frac{7}{3})}^{2} + 49 (\frac{7}{3})$

Étape 12.2.1.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{7}{3}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - 14 \frac{7^{2}}{3^{2}} + 49 (\frac{7}{3})$

Étape 12.2.1.5

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - 14 \frac{49}{3^{2}} + 49 (\frac{7}{3})$

Étape 12.2.1.6

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - 14 (\frac{49}{9}) + 49 (\frac{7}{3})$

Étape 12.2.1.7

Multipliez $- 14 (\frac{49}{9})$ .

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Étape 12.2.1.7.1

Associez $- 14$ et $\frac{49}{9}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} + \frac{- 14 \cdot 49}{9} + 49 (\frac{7}{3})$

Étape 12.2.1.7.2

Multipliez $- 14$ par $49$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} + \frac{- 686}{9} + 49 (\frac{7}{3})$

Étape 12.2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - \frac{686}{9} + 49 (\frac{7}{3})$

Étape 12.2.1.9

Multipliez $49 (\frac{7}{3})$ .

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Étape 12.2.1.9.1

Associez $49$ et $\frac{7}{3}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - \frac{686}{9} + \frac{49 \cdot 7}{3}$

Étape 12.2.1.9.2

Multipliez $49$ par $7$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - \frac{686}{9} + \frac{343}{3}$

Étape 12.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 12.2.2.1

Multipliez $\frac{686}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - (\frac{686}{9} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{343}{3}$

Étape 12.2.2.2

Multipliez $\frac{686}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - \frac{686 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{343}{3}$

Étape 12.2.2.3

Multipliez $\frac{343}{3}$ par $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - \frac{686 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{343}{3} \cdot \frac{9}{9}$

Étape 12.2.2.4

Multipliez $\frac{343}{3}$ par $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - \frac{686 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{343 \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Étape 12.2.2.5

Réorganisez les facteurs de $9 \cdot 3$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - \frac{686 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{343 \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Étape 12.2.2.6

Multipliez $3$ par $9$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - \frac{686 \cdot 3}{27} + \frac{343 \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Étape 12.2.2.7

Multipliez $3$ par $9$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - \frac{686 \cdot 3}{27} + \frac{343 \cdot 9}{27}$

Étape 12.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343 - 686 \cdot 3 + 343 \cdot 9}{27}$

Étape 12.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.4.1

Multipliez $- 686$ par $3$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343 - 2058 + 343 \cdot 9}{27}$

Étape 12.2.4.2

Multipliez $343$ par $9$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343 - 2058 + 3087}{27}$

Étape 12.2.5

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 12.2.5.1

Soustrayez $2058$ de $343$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{- 1715 + 3087}{27}$

Étape 12.2.5.2

Additionnez $- 1715$ et $3087$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1372}{27}$

Étape 12.2.6

La réponse finale est $\frac{1372}{27}$ .

$y = \frac{1372}{27}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 7$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (7) - 28$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Multipliez $6$ par $7$ .

$42 - 28$

Étape 14.2

Soustrayez $28$ de $42$ .

$14$

Étape 15

$x = 7$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 7$ est un minimum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = 7$ .

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Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $7$ dans l’expression.

$f (7) = {(7)}^{3} - 14 {(7)}^{2} + 49 (7)$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 16.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.2.1.1

Élevez $7$ à la puissance $3$ .

$f (7) = 343 - 14 {(7)}^{2} + 49 (7)$

Étape 16.2.1.2

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$f (7) = 343 - 14 \cdot 49 + 49 (7)$

Étape 16.2.1.3

Multipliez $- 14$ par $49$ .

$f (7) = 343 - 686 + 49 (7)$

Étape 16.2.1.4

Multipliez $49$ par $7$ .

$f (7) = 343 - 686 + 343$

Étape 16.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 16.2.2.1

Soustrayez $686$ de $343$ .

$f (7) = - 343 + 343$

Étape 16.2.2.2

Additionnez $- 343$ et $343$ .

$f (7) = 0$

Étape 16.2.3

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Étape 17

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{3} - 14 x^{2} + 49 x$ .

$(\frac{7}{3}, \frac{1372}{27})$ est un maximum local

$(7, 0)$ est un minimum local

Étape 18