Calcul infinitésimal Exemples

$\arctan (\frac{x + y}{1 - x y})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = \arctan (y)$ et $g (y) = \frac{x + y}{1 - x y}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x + y}{1 - x y}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d y} [\frac{x + y}{1 - x y}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\arctan (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d y} [\frac{x + y}{1 - x y}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x + y}{1 - x y}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \frac{d}{d y} [\frac{x + y}{1 - x y}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ est $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ où $f (y) = x + y$ et $g (y) = 1 - x y$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x y) \frac{d}{d y} [x + y] - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]) - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

Étape 3.2

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x y) (0 + \frac{d}{d y} [y]) - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

Étape 3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x y) \frac{d}{d y} [y] - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x y) \cdot 1 - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

Étape 3.5

Multipliez $1 - x y$ par $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

Étape 3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x y]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y - (x + y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x y])}{{(1 - x y)}^{2}}$

Étape 3.7

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y - (x + y) (0 + \frac{d}{d y} [- x y])}{{(1 - x y)}^{2}}$

Étape 3.8

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d y} [- x y]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y - (x + y) \frac{d}{d y} [- x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

Étape 3.9

Comme $- x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- x y$ par rapport à $y$ est $- x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y - (x + y) (- x \frac{d}{d y} [y])}{{(1 - x y)}^{2}}$

Étape 3.10

Multipliez.

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Étape 3.10.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y + 1 (x + y) (x \frac{d}{d y} [y])}{{(1 - x y)}^{2}}$

Étape 3.10.2

Multipliez $x + y$ par $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y + (x + y) (x \frac{d}{d y} [y])}{{(1 - x y)}^{2}}$

Étape 3.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y + (x + y) x \cdot 1}{{(1 - x y)}^{2}}$

Étape 3.12

Associez les fractions.

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Étape 3.12.1

Multipliez $x + y$ par $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y + x \cdot (x + y)}{{(1 - x y)}^{2}}$

Étape 3.12.2

Multipliez $\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}}$ par $\frac{1 - x y + x (x + y)}{{(1 - x y)}^{2}}$ .

$\frac{1 - x y + x (x + y)}{(1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}) {(1 - x y)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x + y}{1 - x y}$ .

$\frac{1 - x y + x (x + y)}{(1 + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 - x y + x \cdot x + x y}{(1 + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

Étape 4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1

Associez les termes opposés dans $1 - x y + x \cdot x + x y$ .

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Étape 4.3.1.1

Additionnez $- x y$ et $x y$ .

$\frac{1 + x \cdot x + 0}{(1 + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

Étape 4.3.1.2

Additionnez $1 + x \cdot x$ et $0$ .

$\frac{1 + x \cdot x}{(1 + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

Étape 4.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{1 + x^{2}}{(1 + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

Étape 4.4

Associez des termes.

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Étape 4.4.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1 + x^{2}}{(\frac{{(1 - x y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}} + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

Étape 4.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + x^{2}}{\frac{{(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}} {(1 - x y)}^{2}}$

Étape 4.4.3

Associez $\frac{{(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}$ et ${(1 - x y)}^{2}$ .

$\frac{1 + x^{2}}{\frac{({(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}) {(1 - x y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}}$

Étape 4.4.4

Annulez le facteur commun de ${(1 - x y)}^{2}$ .

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Étape 4.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 + x^{2}}{\frac{({(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}) {(1 - x y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}}$

Étape 4.4.4.2

Divisez ${(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}$ par $1$ .

$\frac{1 + x^{2}}{{(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}}$

Étape 4.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x^{2} + 1}{{(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}}$

Étape 4.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.6.1

Réécrivez ${(1 - x y)}^{2}$ comme $(1 - x y) (1 - x y)$ .

$\frac{x^{2} + 1}{(1 - x y) (1 - x y) + {(x + y)}^{2}}$

Étape 4.6.2

Développez $(1 - x y) (1 - x y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.6.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 1}{1 (1 - x y) - x y (1 - x y) + {(x + y)}^{2}}$

Étape 4.6.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 1}{1 \cdot 1 + 1 (- x y) - x y (1 - x y) + {(x + y)}^{2}}$

Étape 4.6.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 1}{1 \cdot 1 + 1 (- x y) - x y \cdot 1 - x y (- x y) + {(x + y)}^{2}}$

Étape 4.6.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.6.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 + 1 (- x y) - x y \cdot 1 - x y (- x y) + {(x + y)}^{2}}$

Étape 4.6.3.1.2

Multipliez $- x y$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y \cdot 1 - x y (- x y) + {(x + y)}^{2}}$

Étape 4.6.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y - x y (- x y) + {(x + y)}^{2}}$

Étape 4.6.3.1.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.6.3.1.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y - (x \cdot x) y (- 1 y) + {(x + y)}^{2}}$

Étape 4.6.3.1.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y - x^{2} y (- 1 y) + {(x + y)}^{2}}$

Étape 4.6.3.1.5

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.6.3.1.5.1

Déplacez $y$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y - x^{2} (y \cdot y) \cdot - 1 + {(x + y)}^{2}}$

Étape 4.6.3.1.5.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y - x^{2} y^{2} \cdot - 1 + {(x + y)}^{2}}$

Étape 4.6.3.1.6

Multipliez $- x^{2} y^{2} \cdot - 1$ .

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Étape 4.6.3.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y + 1 x^{2} y^{2} + {(x + y)}^{2}}$

Étape 4.6.3.1.6.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y + x^{2} y^{2} + {(x + y)}^{2}}$

Étape 4.6.3.2

Soustrayez $x y$ de $- x y$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + {(x + y)}^{2}}$

Étape 4.6.4

Réécrivez ${(x + y)}^{2}$ comme $(x + y) (x + y)$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + (x + y) (x + y)}$

Étape 4.6.5

Développez $(x + y) (x + y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.6.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x (x + y) + y (x + y)}$

Étape 4.6.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x \cdot x + x y + y (x + y)}$

Étape 4.6.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x \cdot x + x y + y x + y \cdot y}$

Étape 4.6.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.6.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.6.6.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x^{2} + x y + y x + y \cdot y}$

Étape 4.6.6.1.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x^{2} + x y + y x + y^{2}}$

Étape 4.6.6.2

Additionnez $x y$ et $y x$ .

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Étape 4.6.6.2.1

Remettez dans l’ordre $y$ et $x$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x^{2} + x y + x y + y^{2}}$

Étape 4.6.6.2.2

Additionnez $x y$ et $x y$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x^{2} + 2 x y + y^{2}}$

Étape 4.6.7

Additionnez $- 2 x y$ et $2 x y$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 + x^{2} y^{2} + x^{2} + 0 + y^{2}}$

Étape 4.6.8

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} y^{2} + x^{2} + 1 + y^{2}}$

Étape 4.6.9

Réécrivez $x^{2} y^{2} + x^{2} + 1 + y^{2}$ en forme factorisée.

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Étape 4.6.9.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.6.9.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{x^{2} + 1}{(x^{2} y^{2} + x^{2}) + 1 + y^{2}}$

Étape 4.6.9.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} (y^{2} + 1) + 1 (y^{2} + 1)}$

Étape 4.6.9.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $y^{2} + 1$ .

$\frac{x^{2} + 1}{(y^{2} + 1) (x^{2} + 1)}$

Étape 4.7

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 1$ .

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Étape 4.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} + 1}{(y^{2} + 1) (x^{2} + 1)}$

Étape 4.7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y^{2} + 1}$