Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{z - 1} - \frac{1}{z}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{z - 1} - \frac{1}{z}$ par rapport à $z$ est $\frac{d}{d z} [\frac{1}{z - 1}] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$ .

$\frac{d}{d z} [\frac{1}{z - 1}] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d z} [\frac{1}{z - 1}]$ .

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Étape 2.1

Réécrivez $\frac{1}{z - 1}$ comme ${(z - 1)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d z} [{(z - 1)}^{- 1}] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ est $f' (g (z)) g' (z)$ où $f (z) = z^{- 1}$ et $g (z) = z - 1$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $z - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d z} [z - 1] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d z} [z - 1] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $z - 1$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} \frac{d}{d z} [z - 1] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $z - 1$ par rapport à $z$ est $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 1]$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 1]) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ est $n z^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d z} [- 1]) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Étape 2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $z$ est $0$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} (1 + 0) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Étape 2.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} \cdot 1 + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Étape 2.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$ .

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ est $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ où $f (z) = - 1$ et $g (z) = \frac{1}{z}$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} - \frac{d}{d z} [\frac{1}{z}] + \frac{1}{z} \frac{d}{d z} [- 1]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{1}{z}$ comme $z^{- 1}$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} - \frac{d}{d z} [z^{- 1}] + \frac{1}{z} \frac{d}{d z} [- 1]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ est $n z^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} - - z^{- 2} + \frac{1}{z} \frac{d}{d z} [- 1]$

Étape 3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $z$ est $0$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} - - z^{- 2} + \frac{1}{z} \cdot 0$

Étape 3.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} + 1 z^{- 2} + \frac{1}{z} \cdot 0$

Étape 3.6

Multipliez $z^{- 2}$ par $1$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} + z^{- 2} + \frac{1}{z} \cdot 0$

Étape 3.7

Multipliez $\frac{1}{z}$ par $0$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} + z^{- 2} + 0$

Étape 3.8

Additionnez $z^{- 2}$ et $0$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} + z^{- 2}$

Étape 4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(z - 1)}^{2}} + z^{- 2}$

Étape 5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(z - 1)}^{2}} + \frac{1}{z^{2}}$

Étape 6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{z^{2}} - \frac{1}{{(z - 1)}^{2}}$