Calcul infinitésimal Exemples

$(4 - z^{2}) (z^{3} - 2 z + 2)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ est $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ où $f (z) = 4 - z^{2}$ et $g (z) = z^{3} - 2 z + 2$ .

$(4 - z^{2}) \frac{d}{d z} [z^{3} - 2 z + 2] + (z^{3} - 2 z + 2) \frac{d}{d z} [4 - z^{2}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $z^{3} - 2 z + 2$ par rapport à $z$ est $\frac{d}{d z} [z^{3}] + \frac{d}{d z} [- 2 z] + \frac{d}{d z} [2]$ .

$(4 - z^{2}) (\frac{d}{d z} [z^{3}] + \frac{d}{d z} [- 2 z] + \frac{d}{d z} [2]) + (z^{3} - 2 z + 2) \frac{d}{d z} [4 - z^{2}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ est $n z^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$(4 - z^{2}) (3 z^{2} + \frac{d}{d z} [- 2 z] + \frac{d}{d z} [2]) + (z^{3} - 2 z + 2) \frac{d}{d z} [4 - z^{2}]$

Étape 2.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $- 2 z$ par rapport à $z$ est $- 2 \frac{d}{d z} [z]$ .

$(4 - z^{2}) (3 z^{2} - 2 \frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [2]) + (z^{3} - 2 z + 2) \frac{d}{d z} [4 - z^{2}]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ est $n z^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(4 - z^{2}) (3 z^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d z} [2]) + (z^{3} - 2 z + 2) \frac{d}{d z} [4 - z^{2}]$

Étape 2.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$(4 - z^{2}) (3 z^{2} - 2 + \frac{d}{d z} [2]) + (z^{3} - 2 z + 2) \frac{d}{d z} [4 - z^{2}]$

Étape 2.6

Comme $2$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $2$ par rapport à $z$ est $0$ .

$(4 - z^{2}) (3 z^{2} - 2 + 0) + (z^{3} - 2 z + 2) \frac{d}{d z} [4 - z^{2}]$

Étape 2.7

Additionnez $3 z^{2} - 2$ et $0$ .

$(4 - z^{2}) (3 z^{2} - 2) + (z^{3} - 2 z + 2) \frac{d}{d z} [4 - z^{2}]$

Étape 2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - z^{2}$ par rapport à $z$ est $\frac{d}{d z} [4] + \frac{d}{d z} [- z^{2}]$ .

$(4 - z^{2}) (3 z^{2} - 2) + (z^{3} - 2 z + 2) (\frac{d}{d z} [4] + \frac{d}{d z} [- z^{2}])$

Étape 2.9

Comme $4$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $4$ par rapport à $z$ est $0$ .

$(4 - z^{2}) (3 z^{2} - 2) + (z^{3} - 2 z + 2) (0 + \frac{d}{d z} [- z^{2}])$

Étape 2.10

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d z} [- z^{2}]$ .

$(4 - z^{2}) (3 z^{2} - 2) + (z^{3} - 2 z + 2) \frac{d}{d z} [- z^{2}]$

Étape 2.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $- z^{2}$ par rapport à $z$ est $- \frac{d}{d z} [z^{2}]$ .

$(4 - z^{2}) (3 z^{2} - 2) + (z^{3} - 2 z + 2) (- \frac{d}{d z} [z^{2}])$

Étape 2.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ est $n z^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(4 - z^{2}) (3 z^{2} - 2) + (z^{3} - 2 z + 2) (- (2 z))$

Étape 2.13

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(4 - z^{2}) (3 z^{2} - 2) + (z^{3} - 2 z + 2) (- 2 z)$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$(4 - z^{2}) (3 z^{2} - 2) + z^{3} (- 2 z) - 2 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$(4 - z^{2}) (3 z^{2}) + (4 - z^{2}) \cdot - 2 + z^{3} (- 2 z) - 2 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 (3 z^{2}) - z^{2} (3 z^{2}) + (4 - z^{2}) \cdot - 2 + z^{3} (- 2 z) - 2 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

Étape 3.4

Appliquez la propriété distributive.

$4 (3 z^{2}) - z^{2} (3 z^{2}) + 4 \cdot - 2 - z^{2} \cdot - 2 + z^{3} (- 2 z) - 2 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

Étape 3.5

Associez des termes.

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Étape 3.5.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 z^{2} - z^{2} (3 z^{2}) + 4 \cdot - 2 - z^{2} \cdot - 2 + z^{3} (- 2 z) - 2 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

Étape 3.5.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$12 z^{2} - 3 z^{2} z^{2} + 4 \cdot - 2 - z^{2} \cdot - 2 + z^{3} (- 2 z) - 2 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

Étape 3.5.3

Multipliez $z^{2}$ par $z^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.5.3.1

Déplacez $z^{2}$ .

$12 z^{2} - 3 (z^{2} z^{2}) + 4 \cdot - 2 - z^{2} \cdot - 2 + z^{3} (- 2 z) - 2 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

Étape 3.5.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$12 z^{2} - 3 z^{2 + 2} + 4 \cdot - 2 - z^{2} \cdot - 2 + z^{3} (- 2 z) - 2 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

Étape 3.5.3.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$12 z^{2} - 3 z^{4} + 4 \cdot - 2 - z^{2} \cdot - 2 + z^{3} (- 2 z) - 2 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

Étape 3.5.4

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$12 z^{2} - 3 z^{4} - 8 - z^{2} \cdot - 2 + z^{3} (- 2 z) - 2 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

Étape 3.5.5

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$12 z^{2} - 3 z^{4} - 8 + 2 z^{2} + z^{3} (- 2 z) - 2 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

Étape 3.5.6

Additionnez $12 z^{2}$ et $2 z^{2}$ .

$14 z^{2} - 3 z^{4} - 8 + z^{3} (- 2 z) - 2 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

Étape 3.5.7

Multipliez $z^{3}$ par $z$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.5.7.1

Déplacez $z$ .

$14 z^{2} - 3 z^{4} - 8 + z \cdot z^{3} \cdot - 2 - 2 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

Étape 3.5.7.2

Multipliez $z$ par $z^{3}$ .

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Étape 3.5.7.2.1

Élevez $z$ à la puissance $1$ .

$14 z^{2} - 3 z^{4} - 8 + z^{1} z^{3} \cdot - 2 - 2 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

Étape 3.5.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$14 z^{2} - 3 z^{4} - 8 + z^{1 + 3} \cdot - 2 - 2 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

Étape 3.5.7.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$14 z^{2} - 3 z^{4} - 8 + z^{4} \cdot - 2 - 2 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

Étape 3.5.8

Déplacez $- 2$ à gauche de $z^{4}$ .

$14 z^{2} - 3 z^{4} - 8 - 2 \cdot z^{4} - 2 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

Étape 3.5.9

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$14 z^{2} - 3 z^{4} - 8 - 2 z^{4} + 4 z \cdot z + 2 (- 2 z)$

Étape 3.5.10

Élevez $z$ à la puissance $1$ .

$14 z^{2} - 3 z^{4} - 8 - 2 z^{4} + 4 (z^{1} z) + 2 (- 2 z)$

Étape 3.5.11

Élevez $z$ à la puissance $1$ .

$14 z^{2} - 3 z^{4} - 8 - 2 z^{4} + 4 (z^{1} z^{1}) + 2 (- 2 z)$

Étape 3.5.12

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$14 z^{2} - 3 z^{4} - 8 - 2 z^{4} + 4 z^{1 + 1} + 2 (- 2 z)$

Étape 3.5.13

Additionnez $1$ et $1$ .

$14 z^{2} - 3 z^{4} - 8 - 2 z^{4} + 4 z^{2} + 2 (- 2 z)$

Étape 3.5.14

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$14 z^{2} - 3 z^{4} - 8 - 2 z^{4} + 4 z^{2} - 4 z$

Étape 3.5.15

Soustrayez $2 z^{4}$ de $- 3 z^{4}$ .

$14 z^{2} - 5 z^{4} - 8 + 4 z^{2} - 4 z$

Étape 3.5.16

Additionnez $14 z^{2}$ et $4 z^{2}$ .

$18 z^{2} - 5 z^{4} - 8 - 4 z$

Étape 3.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 5 z^{4} + 18 z^{2} - 4 z - 8$