Calcul infinitésimal Exemples

$\ln^{7} (z) + \ln (z^{7})$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\ln^{7} (z) + \ln (z^{7})$ par rapport à $z$ est $\frac{d}{d z} [\ln^{7} (z)] + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$ .

$\frac{d}{d z} [\ln^{7} (z)] + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d z} [\ln^{7} (z)]$ .

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ est $f' (g (z)) g' (z)$ où $f (z) = z^{7}$ et $g (z) = \ln (z)$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\ln (z)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{7}] \frac{d}{d z} [\ln (z)] + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$7 {u_{1}}^{6} \frac{d}{d z} [\ln (z)] + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\ln (z)$ .

$7 \ln^{6} (z) \frac{d}{d z} [\ln (z)] + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (z)$ par rapport à $z$ est $\frac{1}{z}$ .

$7 \ln^{6} (z) \frac{1}{z} + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$

Étape 2.3

Associez $\frac{1}{z}$ et $7$ .

$\frac{7}{z} \ln^{6} (z) + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$

Étape 2.4

Associez $\frac{7}{z}$ et $\ln^{6} (z)$ .

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$ .

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ est $f' (g (z)) g' (z)$ où $f (z) = \ln (z)$ et $g (z) = z^{7}$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $z^{7}$ .

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d z} [z^{7}]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\ln (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d z} [z^{7}]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $z^{7}$ .

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{1}{z^{7}} \frac{d}{d z} [z^{7}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ est $n z^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{1}{z^{7}} (7 z^{6})$

Étape 3.3

Associez $7$ et $\frac{1}{z^{7}}$ .

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{7}{z^{7}} z^{6}$

Étape 3.4

Associez $\frac{7}{z^{7}}$ et $z^{6}$ .

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{7 z^{6}}{z^{7}}$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun à $z^{6}$ et $z^{7}$ .

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Étape 3.5.1

Factorisez $z^{6}$ à partir de $7 z^{6}$ .

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{z^{6} \cdot 7}{z^{7}}$

Étape 3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.2.1

Factorisez $z^{6}$ à partir de $z^{7}$ .

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{z^{6} \cdot 7}{z^{6} z}$

Étape 3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{z^{6} \cdot 7}{z^{6} z}$

Étape 3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{7}{z}$