Calcul infinitésimal Exemples

$f (z) = \frac{z^{2} + 1}{3 z}$

Étape 1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $\frac{z^{2} + 1}{3 z}$ par rapport à $z$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d z} [\frac{z^{2} + 1}{z}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d z} [\frac{z^{2} + 1}{z}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ est $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ où $f (z) = z^{2} + 1$ et $g (z) = z$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{z \frac{d}{d z} [z^{2} + 1] - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $z^{2} + 1$ par rapport à $z$ est $\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{z (\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ est $n z^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{z (2 z + \frac{d}{d z} [1]) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Étape 3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $1$ par rapport à $z$ est $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{z (2 z + 0) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Étape 3.4

Additionnez $2 z$ et $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{z (2 z) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Étape 4

Élevez $z$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (z^{1} z) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Étape 5

Élevez $z$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (z^{1} z^{1}) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Étape 6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 z^{1 + 1} - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Étape 7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 z^{2} - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ est $n z^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 z^{2} - (z^{2} + 1) \cdot 1}{z^{2}}$

Étape 9

Associez les fractions.

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Étape 9.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 z^{2} - (z^{2} + 1)}{z^{2}}$

Étape 9.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{2 z^{2} - (z^{2} + 1)}{z^{2}}$ .

$\frac{2 z^{2} - (z^{2} + 1)}{3 z^{2}}$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 z^{2} - z^{2} - 1 \cdot 1}{3 z^{2}}$

Étape 10.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 z^{2} - z^{2} - 1}{3 z^{2}}$

Étape 10.2.2

Soustrayez $z^{2}$ de $2 z^{2}$ .

$\frac{z^{2} - 1}{3 z^{2}}$

Étape 10.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{z^{2} - 1^{2}}{3 z^{2}}$

Étape 10.3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = z$ et $b = 1$ .

$\frac{(z + 1) (z - 1)}{3 z^{2}}$