Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ est $f' (g (z)) g' (z)$ où $f (z) = \ln (z)$ et $g (z) = \frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d z} [\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d z} [\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}} \frac{d}{d z} [\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}]$

Étape 2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}$ .

$1 \frac{z^{20}}{x^{40} y^{30}} \frac{d}{d z} [\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}]$

Étape 3

Multipliez $\frac{z^{20}}{x^{40} y^{30}}$ par $1$ .

$\frac{z^{20}}{x^{40} y^{30}} \frac{d}{d z} [\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}]$

Étape 4

Comme $x^{40} y^{30}$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}$ par rapport à $z$ est $x^{40} y^{30} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$ .

$\frac{z^{20}}{x^{40} y^{30}} (x^{40} y^{30} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}])$

Étape 5

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Associez $x^{40}$ et $\frac{z^{20}}{x^{40} y^{30}}$ .

$\frac{x^{40} z^{20}}{x^{40} y^{30}} (y^{30} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}])$

Étape 5.2

Associez $y^{30}$ et $\frac{x^{40} z^{20}}{x^{40} y^{30}}$ .

$\frac{y^{30} (x^{40} z^{20})}{x^{40} y^{30}} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $y^{30}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{30} x^{40} z^{20}}{x^{40} y^{30}} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$

Étape 5.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{40} z^{20}}{x^{40}} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun de $x^{40}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{40} z^{20}}{x^{40}} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$

Étape 5.4.2

Divisez $z^{20}$ par $1$ .

$z^{20} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$

Étape 5.5

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1

Réécrivez $\frac{1}{z^{20}}$ comme ${(z^{20})}^{- 1}$ .

$z^{20} \frac{d}{d z} [{(z^{20})}^{- 1}]$

Étape 5.5.2

Multipliez les exposants dans ${(z^{20})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z^{20} \frac{d}{d z} [z^{20 \cdot - 1}]$

Étape 5.5.2.2

Multipliez $20$ par $- 1$ .

$z^{20} \frac{d}{d z} [z^{- 20}]$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ est $n z^{n - 1}$ où $n = - 20$ .

$z^{20} (- 20 z^{- 21})$

Étape 7

Multipliez $z^{20}$ par $z^{- 21}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Déplacez $z^{- 21}$ .

$z^{- 21} z^{20} \cdot - 20$

Étape 7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$z^{- 21 + 20} \cdot - 20$

Étape 7.3

Additionnez $- 21$ et $20$ .

$z^{- 1} \cdot - 20$

Étape 8

Déplacez $- 20$ à gauche de $z^{- 1}$ .

$- 20 \cdot z^{- 1}$

Étape 9

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 20 \frac{1}{z}$

Étape 9.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Associez $- 20$ et $\frac{1}{z}$ .

$\frac{- 20}{z}$

Étape 9.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{20}{z}$