Calcul infinitésimal Exemples

$f (z) = - \frac{1}{4} z^{8} + \frac{1}{2} z^{4} - 2^{3}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de la somme.

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Étape 1.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{d}{d z} [- \frac{1}{4} z^{8} + \frac{1}{2} z^{4} - 1 \cdot 8]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{1}{4} z^{8} + \frac{1}{2} z^{4} - 1 \cdot 8$ par rapport à $z$ est $\frac{d}{d z} [- \frac{1}{4} z^{8}] + \frac{d}{d z} [\frac{1}{2} z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$ .

$\frac{d}{d z} [- \frac{1}{4} z^{8}] + \frac{d}{d z} [\frac{1}{2} z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d z} [- \frac{1}{4} z^{8}]$ .

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Étape 2.1

Comme $- \frac{1}{4}$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $- \frac{1}{4} z^{8}$ par rapport à $z$ est $- \frac{1}{4} \frac{d}{d z} [z^{8}]$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d z} [z^{8}] + \frac{d}{d z} [\frac{1}{2} z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ est $n z^{n - 1}$ où $n = 8$ .

$- \frac{1}{4} (8 z^{7}) + \frac{d}{d z} [\frac{1}{2} z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Étape 2.3

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$- 8 (\frac{1}{4}) z^{7} + \frac{d}{d z} [\frac{1}{2} z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Étape 2.4

Associez $- 8$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- 8}{4} z^{7} + \frac{d}{d z} [\frac{1}{2} z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Étape 2.5

Associez $\frac{- 8}{4}$ et $z^{7}$ .

$\frac{- 8 z^{7}}{4} + \frac{d}{d z} [\frac{1}{2} z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Étape 2.6

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $4$ .

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Étape 2.6.1

Factorisez $4$ à partir de $- 8 z^{7}$ .

$\frac{4 (- 2 z^{7})}{4} + \frac{d}{d z} [\frac{1}{2} z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Étape 2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 (- 2 z^{7})}{4 (1)} + \frac{d}{d z} [\frac{1}{2} z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Étape 2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (- 2 z^{7})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d z} [\frac{1}{2} z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Étape 2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2 z^{7}}{1} + \frac{d}{d z} [\frac{1}{2} z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Étape 2.6.2.4

Divisez $- 2 z^{7}$ par $1$ .

$- 2 z^{7} + \frac{d}{d z} [\frac{1}{2} z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d z} [\frac{1}{2} z^{4}]$ .

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Étape 3.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $\frac{1}{2} z^{4}$ par rapport à $z$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d z} [z^{4}]$ .

$- 2 z^{7} + \frac{1}{2} \frac{d}{d z} [z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ est $n z^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 2 z^{7} + \frac{1}{2} (4 z^{3}) + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Étape 3.3

Associez $4$ et $\frac{1}{2}$ .

$- 2 z^{7} + \frac{4}{2} z^{3} + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Étape 3.4

Associez $\frac{4}{2}$ et $z^{3}$ .

$- 2 z^{7} + \frac{4 z^{3}}{2} + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4 z^{3}$ .

$- 2 z^{7} + \frac{2 (2 z^{3})}{2} + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Étape 3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- 2 z^{7} + \frac{2 (2 z^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Étape 3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 2 z^{7} + \frac{2 (2 z^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Étape 3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 2 z^{7} + \frac{2 z^{3}}{1} + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Étape 3.5.2.4

Divisez $2 z^{3}$ par $1$ .

$- 2 z^{7} + 2 z^{3} + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$ .

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Étape 4.1

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$- 2 z^{7} + 2 z^{3} + \frac{d}{d z} [- 8]$

Étape 4.2

Comme $- 8$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $z$ est $0$ .

$- 2 z^{7} + 2 z^{3} + 0$

Étape 5

Additionnez $- 2 z^{7} + 2 z^{3}$ et $0$ .

$- 2 z^{7} + 2 z^{3}$