Calcul infinitésimal Exemples

$x z e^{y z}$

Étape 1

Comme $x$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $x z e^{y z}$ par rapport à $z$ est $x \frac{d}{d z} [z e^{y z}]$ .

$x \frac{d}{d z} [z e^{y z}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ est $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ où $f (z) = z$ et $g (z) = e^{y z}$ .

$x (z \frac{d}{d z} [e^{y z}] + e^{y z} \frac{d}{d z} [z])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ est $f' (g (z)) g' (z)$ où $f (z) = e^{z}$ et $g (z) = y z$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y z$ .

$x (z (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d z} [y z]) + e^{y z} \frac{d}{d z} [z])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x (z (e^{u} \frac{d}{d z} [y z]) + e^{y z} \frac{d}{d z} [z])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y z$ .

$x (z (e^{y z} \frac{d}{d z} [y z]) + e^{y z} \frac{d}{d z} [z])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $y$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $y z$ par rapport à $z$ est $y \frac{d}{d z} [z]$ .

$x (z (e^{y z} (y \frac{d}{d z} [z])) + e^{y z} \frac{d}{d z} [z])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ est $n z^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (z (e^{y z} (y \cdot 1)) + e^{y z} \frac{d}{d z} [z])$

Étape 4.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$x (z (e^{y z} y) + e^{y z} \frac{d}{d z} [z])$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ est $n z^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (z (e^{y z} y) + e^{y z} \cdot 1)$

Étape 4.5

Multipliez $e^{y z}$ par $1$ .

$x (z (e^{y z} y) + e^{y z})$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (z (e^{y z} y)) + x e^{y z}$

Étape 5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{y z} x y z + e^{y z} x$

Étape 5.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{y z} x y z + e^{y z} x$ .

$x y z e^{y z} + x e^{y z}$