Calcul infinitésimal Exemples

$2 x^{0.5} + 6 z^{2} - 4 x^{- 0.5} - 8 t^{4} + 2 z + 33$

Étape 1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d z} [2 x^{0.5} + 6 z^{2} - 4 \frac{1}{x^{0.5}} - 8 t^{4} + 2 z + 33]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{0.5} + 6 z^{2} - 4 \frac{1}{x^{0.5}} - 8 t^{4} + 2 z + 33$ par rapport à $z$ est $\frac{d}{d z} [2 x^{0.5}] + \frac{d}{d z} [6 z^{2}] + \frac{d}{d z} [- 4 \frac{1}{x^{0.5}}] + \frac{d}{d z} [- 8 t^{4}] + \frac{d}{d z} [2 z] + \frac{d}{d z} [33]$ .

$\frac{d}{d z} [2 x^{0.5}] + \frac{d}{d z} [6 z^{2}] + \frac{d}{d z} [- 4 \frac{1}{x^{0.5}}] + \frac{d}{d z} [- 8 t^{4}] + \frac{d}{d z} [2 z] + \frac{d}{d z} [33]$

Étape 2.2

Comme $2 x^{0.5}$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $2 x^{0.5}$ par rapport à $z$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d z} [6 z^{2}] + \frac{d}{d z} [- 4 \frac{1}{x^{0.5}}] + \frac{d}{d z} [- 8 t^{4}] + \frac{d}{d z} [2 z] + \frac{d}{d z} [33]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d z} [6 z^{2}]$ .

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Étape 3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $6 z^{2}$ par rapport à $z$ est $6 \frac{d}{d z} [z^{2}]$ .

$0 + 6 \frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- 4 \frac{1}{x^{0.5}}] + \frac{d}{d z} [- 8 t^{4}] + \frac{d}{d z} [2 z] + \frac{d}{d z} [33]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ est $n z^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 6 (2 z) + \frac{d}{d z} [- 4 \frac{1}{x^{0.5}}] + \frac{d}{d z} [- 8 t^{4}] + \frac{d}{d z} [2 z] + \frac{d}{d z} [33]$

Étape 3.3

Multipliez $2$ par $6$ .

$0 + 12 z + \frac{d}{d z} [- 4 \frac{1}{x^{0.5}}] + \frac{d}{d z} [- 8 t^{4}] + \frac{d}{d z} [2 z] + \frac{d}{d z} [33]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d z} [- 4 \frac{1}{x^{0.5}}]$ .

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Étape 4.1

Associez $- 4$ et $\frac{1}{x^{0.5}}$ .

$0 + 12 z + \frac{d}{d z} [\frac{- 4}{x^{0.5}}] + \frac{d}{d z} [- 8 t^{4}] + \frac{d}{d z} [2 z] + \frac{d}{d z} [33]$

Étape 4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 + 12 z + \frac{d}{d z} [- \frac{4}{x^{0.5}}] + \frac{d}{d z} [- 8 t^{4}] + \frac{d}{d z} [2 z] + \frac{d}{d z} [33]$

Étape 4.3

Comme $- \frac{4}{x^{0.5}}$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $- \frac{4}{x^{0.5}}$ par rapport à $z$ est $0$ .

$0 + 12 z + 0 + \frac{d}{d z} [- 8 t^{4}] + \frac{d}{d z} [2 z] + \frac{d}{d z} [33]$

Étape 5

Comme $- 8 t^{4}$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $- 8 t^{4}$ par rapport à $z$ est $0$ .

$0 + 12 z + 0 + 0 + \frac{d}{d z} [2 z] + \frac{d}{d z} [33]$

Étape 6

Évaluez $\frac{d}{d z} [2 z]$ .

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Étape 6.1

Comme $2$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $2 z$ par rapport à $z$ est $2 \frac{d}{d z} [z]$ .

$0 + 12 z + 0 + 0 + 2 \frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [33]$

Étape 6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ est $n z^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 12 z + 0 + 0 + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d z} [33]$

Étape 6.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$0 + 12 z + 0 + 0 + 2 + \frac{d}{d z} [33]$

Étape 7

Comme $33$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $33$ par rapport à $z$ est $0$ .

$0 + 12 z + 0 + 0 + 2 + 0$

Étape 8

Associez des termes.

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Étape 8.1

Additionnez $0$ et $12 z$ .

$12 z + 0 + 0 + 2 + 0$

Étape 8.2

Additionnez $12 z$ et $0$ .

$12 z + 0 + 2 + 0$

Étape 8.3

Additionnez $12 z$ et $0$ .

$12 z + 2 + 0$

Étape 8.4

Additionnez $12 z + 2$ et $0$ .

$12 z + 2$