Calcul infinitésimal Exemples

$y = 3 x^{5} - 2 x^{- 3} + \sqrt[4]{x^{7}}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{5} - 2 x^{- 3} + \sqrt[4]{x^{7}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{7}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{7}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

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Étape 2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{5}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{7}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{7}}]$

Étape 2.3

Multipliez $5$ par $3$ .

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{7}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{- 3}]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$15 x^{4} - 2 \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{7}}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 3$ .

$15 x^{4} - 2 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{7}}]$

Étape 3.3

Multipliez $- 3$ par $- 2$ .

$15 x^{4} + 6 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{7}}]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{7}}]$ .

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{x^{7}}$ comme $x^{\frac{7}{4}}$ .

$15 x^{4} + 6 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{4}}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{7}{4}$ .

$15 x^{4} + 6 x^{- 4} + \frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} - 1}$

Étape 4.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$15 x^{4} + 6 x^{- 4} + \frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}$

Étape 4.4

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$15 x^{4} + 6 x^{- 4} + \frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$15 x^{4} + 6 x^{- 4} + \frac{7}{4} x^{\frac{7 - 1 \cdot 4}{4}}$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$15 x^{4} + 6 x^{- 4} + \frac{7}{4} x^{\frac{7 - 4}{4}}$

Étape 4.6.2

Soustrayez $4$ de $7$ .

$15 x^{4} + 6 x^{- 4} + \frac{7}{4} x^{\frac{3}{4}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$15 x^{4} + 6 \frac{1}{x^{4}} + \frac{7}{4} x^{\frac{3}{4}}$

Étape 5.2

Associez $6$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$15 x^{4} + \frac{6}{x^{4}} + \frac{7}{4} x^{\frac{3}{4}}$

Étape 5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$15 x^{4} + \frac{7}{4} x^{\frac{3}{4}} + \frac{6}{x^{4}}$

Étape 5.4

Associez $\frac{7}{4}$ et $x^{\frac{3}{4}}$ .

$15 x^{4} + \frac{7 x^{\frac{3}{4}}}{4} + \frac{6}{x^{4}}$