Calcul infinitésimal Exemples

$y = 3 x e^{2 x^{5}}$

Étape 1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x e^{2 x^{5}}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x e^{2 x^{5}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x e^{2 x^{5}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{2 x^{5}}$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [e^{2 x^{5}}] + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x^{5}$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x^{5}$ .

$3 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x^{5}]) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$3 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x^{5}]) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x^{5}$ .

$3 (x (e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{5}]) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{5}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 (x (e^{2 x^{5}} (2 \frac{d}{d x} [x^{5}])) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$3 (x (e^{2 x^{5}} (2 (5 x^{4}))) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.3

Multipliez $5$ par $2$ .

$3 (x (e^{2 x^{5}} (10 x^{4})) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$3 (x^{4} x^{1} (e^{2 x^{5}} \cdot (10)) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 (x^{4 + 1} (e^{2 x^{5}} \cdot (10)) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 7

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.1

Additionnez $4$ et $1$ .

$3 (x^{5} (e^{2 x^{5}} \cdot (10)) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 7.2

Déplacez $10$ à gauche de $e^{2 x^{5}}$ .

$3 (x^{5} (10 \cdot e^{2 x^{5}}) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (x^{5} (10 e^{2 x^{5}}) + e^{2 x^{5}} \cdot 1)$

Étape 9

Multipliez $e^{2 x^{5}}$ par $1$ .

$3 (x^{5} (10 e^{2 x^{5}}) + e^{2 x^{5}})$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (x^{5} (10 e^{2 x^{5}})) + 3 e^{2 x^{5}}$

Étape 10.2

Multipliez $10$ par $3$ .

$30 x^{5} e^{2 x^{5}} + 3 e^{2 x^{5}}$

Étape 10.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$30 e^{2 x^{5}} x^{5} + 3 e^{2 x^{5}}$

Étape 10.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $30 e^{2 x^{5}} x^{5} + 3 e^{2 x^{5}}$ .

$30 x^{5} e^{2 x^{5}} + 3 e^{2 x^{5}}$