Calcul infinitésimal Exemples

$y = 3 \sin (x) \cot (x)$

Étape 1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \sin (x) \cot (x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cot (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cot (x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \cot (x)$ .

$3 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 3

La dérivée de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc^{2} (x)$ .

$3 (\sin (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 4

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$3 (\sin (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \cos (x))$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (\sin (x) (- \csc^{2} (x))) + 3 (\cot (x) \cos (x))$

Étape 5.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 \sin (x) \csc^{2} (x) + 3 \cot (x) \cos (x)$

Étape 5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 3 \csc^{2} (x) \sin (x) + 3 \cos (x) \cot (x)$

Étape 5.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$- 3 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \sin (x) + 3 \cos (x) \cot (x)$

Étape 5.4.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$- 3 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + 3 \cos (x) \cot (x)$

Étape 5.4.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 3 \frac{1}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + 3 \cos (x) \cot (x)$

Étape 5.4.4

Associez $- 3$ et $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{- 3}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + 3 \cos (x) \cot (x)$

Étape 5.4.5

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 5.4.5.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{- 3}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + 3 \cos (x) \cot (x)$

Étape 5.4.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + 3 \cos (x) \cot (x)$

Étape 5.4.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3}{\sin (x)} + 3 \cos (x) \cot (x)$

Étape 5.4.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{\sin (x)} + 3 \cos (x) \cot (x)$

Étape 5.4.7

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$- \frac{3}{\sin (x)} + 3 \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 5.4.8

Multipliez $3 \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Étape 5.4.8.1

Associez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ et $3$ .

$- \frac{3}{\sin (x)} + \frac{\cos (x) \cdot 3}{\sin (x)} \cos (x)$

Étape 5.4.8.2

Associez $\frac{\cos (x) \cdot 3}{\sin (x)}$ et $\cos (x)$ .

$- \frac{3}{\sin (x)} + \frac{\cos (x) \cdot 3 \cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 5.4.8.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$- \frac{3}{\sin (x)} + \frac{3 (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\sin (x)}$

Étape 5.4.8.4

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$- \frac{3}{\sin (x)} + \frac{3 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\sin (x)}$

Étape 5.4.8.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{3}{\sin (x)} + \frac{3 {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)}$

Étape 5.4.8.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{3}{\sin (x)} + \frac{3 \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Étape 5.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 3 + 3 \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Étape 5.6

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3$ .

$\frac{- 3 (1) + 3 \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Étape 5.7

Factorisez $- 3$ à partir de $3 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{- 3 (1) - 3 (- \cos^{2} (x))}{\sin (x)}$

Étape 5.8

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 (1) - 3 (- \cos^{2} (x))$ .

$\frac{- 3 (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x)}$

Étape 5.9

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{- 3 \sin^{2} (x)}{\sin (x)}$

Étape 5.10

Annulez le facteur commun à $\sin^{2} (x)$ et $\sin (x)$ .

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Étape 5.10.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $- 3 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) (- 3 \sin (x))}{\sin (x)}$

Étape 5.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.10.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{\sin (x) (- 3 \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1}$

Étape 5.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (x) (- 3 \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1}$

Étape 5.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3 \sin (x)}{1}$

Étape 5.10.2.4

Divisez $- 3 \sin (x)$ par $1$ .

$- 3 \sin (x)$