Calcul infinitésimal Exemples

$y = 4 \arctan (3 x^{4})$

Étape 1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 \arctan (3 x^{4})$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\arctan (3 x^{4})]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\arctan (3 x^{4})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = 3 x^{4}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x^{4}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Étape 2.2

La dérivée de $\arctan (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$4 (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x^{4}$ .

$4 (\frac{1}{1 + {(3 x^{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{4}$ .

$4 (\frac{1}{1 + {(3 (x^{4}))}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Étape 3.2

Associez les fractions.

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Étape 3.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 (x^{4})$ .

$4 (\frac{1}{1 + 3^{2} {(x^{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Étape 3.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$4 (\frac{1}{1 + 9 {(x^{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Étape 3.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\frac{1}{1 + 9 x^{4 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Étape 3.2.1.3.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$4 (\frac{1}{1 + 9 x^{8}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Étape 3.2.2

Associez $\frac{1}{1 + 9 x^{8}}$ et $4$ .

$\frac{4}{1 + 9 x^{8}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}]$

Étape 3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{4}{1 + 9 x^{8}} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 3.4

Associez les fractions.

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Étape 3.4.1

Associez $3$ et $\frac{4}{1 + 9 x^{8}}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{1 + 9 x^{8}} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 3.4.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{12}{1 + 9 x^{8}} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{12}{1 + 9 x^{8}} (4 x^{3})$

Étape 3.6

Associez les fractions.

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Étape 3.6.1

Associez $4$ et $\frac{12}{1 + 9 x^{8}}$ .

$\frac{4 \cdot 12}{1 + 9 x^{8}} x^{3}$

Étape 3.6.2

Multipliez $4$ par $12$ .

$\frac{48}{1 + 9 x^{8}} x^{3}$

Étape 3.6.3

Associez $\frac{48}{1 + 9 x^{8}}$ et $x^{3}$ .

$\frac{48 x^{3}}{1 + 9 x^{8}}$

Étape 3.6.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{48 x^{3}}{9 x^{8} + 1}$