Calcul infinitésimal Exemples

$y = 3 x - 5 \cos^{2} (2 x)$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 5 \cos^{2} (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5 \cos^{2} (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5 \cos^{2} (2 x)]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 \cos^{2} (2 x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 \cos^{2} (2 x)]$

Étape 2.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 5 \cos^{2} (2 x)]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 \cos^{2} (2 x)]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 \cos^{2} (2 x)$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (2 x)]$ .

$3 - 5 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (2 x)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (2 x)$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\cos (2 x)$ .

$3 - 5 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 - 5 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\cos (2 x)$ .

$3 - 5 (2 \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x$ .

$3 - 5 (2 \cos (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]))$

Étape 3.3.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$3 - 5 (2 \cos (2 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$3 - 5 (2 \cos (2 x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Étape 3.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 - 5 (2 \cos (2 x) (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])))$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 - 5 (2 \cos (2 x) (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)))$

Étape 3.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$3 - 5 (2 \cos (2 x) (- \sin (2 x) \cdot 2))$

Étape 3.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$3 - 5 (2 \cos (2 x) (- 2 \sin (2 x)))$

Étape 3.8

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$3 - 5 (- 4 \cos (2 x) \sin (2 x))$

Étape 3.9

Multipliez $- 4$ par $- 5$ .

$3 + 20 \cos (2 x) \sin (2 x)$

Étape 4

Remettez les termes dans l’ordre.

$20 \cos (2 x) \sin (2 x) + 3$