Calcul infinitésimal Exemples

$y = 4000 {(1 - \frac{x}{800})}^{2}$

Étape 1

Réécrivez ${(1 - \frac{x}{800})}^{2}$ comme $(1 - \frac{x}{800}) (1 - \frac{x}{800})$ .

$\frac{d}{d x} [4000 ((1 - \frac{x}{800}) (1 - \frac{x}{800}))]$

Étape 2

Développez $(1 - \frac{x}{800}) (1 - \frac{x}{800})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [4000 (1 (1 - \frac{x}{800}) - \frac{x}{800} (1 - \frac{x}{800}))]$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [4000 (1 \cdot 1 + 1 (- \frac{x}{800}) - \frac{x}{800} (1 - \frac{x}{800}))]$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [4000 (1 \cdot 1 + 1 (- \frac{x}{800}) - \frac{x}{800} \cdot 1 - \frac{x}{800} (- \frac{x}{800}))]$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 + 1 (- \frac{x}{800}) - \frac{x}{800} \cdot 1 - \frac{x}{800} (- \frac{x}{800}))]$

Étape 3.1.2

Multipliez $- \frac{x}{800}$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{800} - \frac{x}{800} \cdot 1 - \frac{x}{800} (- \frac{x}{800}))]$

Étape 3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{800} - \frac{x}{800} - \frac{x}{800} (- \frac{x}{800}))]$

Étape 3.1.4

Multipliez $- \frac{x}{800} (- \frac{x}{800})$ .

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Étape 3.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{800} - \frac{x}{800} + 1 \frac{x}{800} \frac{x}{800})]$

Étape 3.1.4.2

Multipliez $\frac{x}{800}$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{800} - \frac{x}{800} + \frac{x}{800} \cdot \frac{x}{800})]$

Étape 3.1.4.3

Multipliez $\frac{x}{800}$ par $\frac{x}{800}$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{800} - \frac{x}{800} + \frac{x \cdot x}{800 \cdot 800})]$

Étape 3.1.4.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{800} - \frac{x}{800} + \frac{x^{1} x}{800 \cdot 800})]$

Étape 3.1.4.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{800} - \frac{x}{800} + \frac{x^{1} x^{1}}{800 \cdot 800})]$

Étape 3.1.4.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{800} - \frac{x}{800} + \frac{x^{1 + 1}}{800 \cdot 800})]$

Étape 3.1.4.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{800} - \frac{x}{800} + \frac{x^{2}}{800 \cdot 800})]$

Étape 3.1.4.8

Multipliez $800$ par $800$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{800} - \frac{x}{800} + \frac{x^{2}}{640000})]$

Étape 3.2

Soustrayez $\frac{x}{800}$ de $- \frac{x}{800}$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - 2 \frac{x}{800} + \frac{x^{2}}{640000})]$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 + 2 (- 1) \frac{x}{800} + \frac{x^{2}}{640000})]$

Étape 4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $800$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 + 2 \cdot - 1 \frac{x}{2 \cdot 400} + \frac{x^{2}}{640000})]$

Étape 4.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d x} [4000 (1 + 2 \cdot - 1 \frac{x}{2 \cdot 400} + \frac{x^{2}}{640000})]$

Étape 4.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - 1 \frac{x}{400} + \frac{x^{2}}{640000})]$

Étape 4.2

Réécrivez $- 1 \frac{x}{400}$ comme $- \frac{x}{400}$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{400} + \frac{x^{2}}{640000})]$

Étape 5

Comme $4000$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4000 (1 - \frac{x}{400} + \frac{x^{2}}{640000})$ par rapport à $x$ est $4000 \frac{d}{d x} [1 - \frac{x}{400} + \frac{x^{2}}{640000}]$ .

$4000 \frac{d}{d x} [1 - \frac{x}{400} + \frac{x^{2}}{640000}]$

Étape 6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \frac{x}{400} + \frac{x^{2}}{640000}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{400}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{640000}]$ .

$4000 (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{400}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{640000}])$

Étape 7

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4000 (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{400}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{640000}])$

Étape 8

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{400}]$ .

$4000 (\frac{d}{d x} [- \frac{x}{400}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{640000}])$

Étape 9

Comme $- \frac{1}{400}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x}{400}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{400} \frac{d}{d x} [x]$ .

$4000 (- \frac{1}{400} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{640000}])$

Étape 10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4000 (- \frac{1}{400} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{640000}])$

Étape 11

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$4000 (- \frac{1}{400} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{640000}])$

Étape 12

Comme $\frac{1}{640000}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{2}}{640000}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{640000} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4000 (- \frac{1}{400} + \frac{1}{640000} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4000 (- \frac{1}{400} + \frac{1}{640000} (2 x))$

Étape 14

Simplifiez les termes.

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Étape 14.1

Associez $2$ et $\frac{1}{640000}$ .

$4000 (- \frac{1}{400} + \frac{2}{640000} x)$

Étape 14.2

Associez $\frac{2}{640000}$ et $x$ .

$4000 (- \frac{1}{400} + \frac{2 x}{640000})$

Étape 14.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $640000$ .

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Étape 14.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$4000 (- \frac{1}{400} + \frac{2 (x)}{640000})$

Étape 14.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $640000$ .

$4000 (- \frac{1}{400} + \frac{2 x}{2 \cdot 320000})$

Étape 14.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$4000 (- \frac{1}{400} + \frac{2 x}{2 \cdot 320000})$

Étape 14.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$4000 (- \frac{1}{400} + \frac{x}{320000})$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

Appliquez la propriété distributive.

$4000 (- \frac{1}{400}) + 4000 \frac{x}{320000}$

Étape 15.2

Associez des termes.

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Étape 15.2.1

Multipliez $- 1$ par $4000$ .

$- 4000 (\frac{1}{400}) + 4000 \frac{x}{320000}$

Étape 15.2.2

Associez $- 4000$ et $\frac{1}{400}$ .

$\frac{- 4000}{400} + 4000 \frac{x}{320000}$

Étape 15.2.3

Annulez le facteur commun à $- 4000$ et $400$ .

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Étape 15.2.3.1

Factorisez $400$ à partir de $- 4000$ .

$\frac{400 \cdot - 10}{400} + 4000 \frac{x}{320000}$

Étape 15.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.3.2.1

Factorisez $400$ à partir de $400$ .

$\frac{400 \cdot - 10}{400 (1)} + 4000 \frac{x}{320000}$

Étape 15.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{400 \cdot - 10}{400 \cdot 1} + 4000 \frac{x}{320000}$

Étape 15.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 10}{1} + 4000 \frac{x}{320000}$

Étape 15.2.3.2.4

Divisez $- 10$ par $1$ .

$- 10 + 4000 \frac{x}{320000}$

Étape 15.2.4

Associez $4000$ et $\frac{x}{320000}$ .

$- 10 + \frac{4000 x}{320000}$

Étape 15.2.5

Annulez le facteur commun à $4000$ et $320000$ .

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Étape 15.2.5.1

Factorisez $4000$ à partir de $4000 x$ .

$- 10 + \frac{4000 (x)}{320000}$

Étape 15.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.5.2.1

Factorisez $4000$ à partir de $320000$ .

$- 10 + \frac{4000 x}{4000 \cdot 80}$

Étape 15.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 10 + \frac{4000 x}{4000 \cdot 80}$

Étape 15.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 10 + \frac{x}{80}$

Étape 15.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x}{80} - 10$