Calcul infinitésimal Exemples

$y = 4 \ln (x^{2} e^{x})$

Étape 1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 \ln (x^{2} e^{x})$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} e^{x})]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} e^{x})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{2} e^{x}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} e^{x}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}])$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} e^{x}$ .

$4 (\frac{1}{x^{2} e^{x}} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}])$

Étape 3

Associez $\frac{1}{x^{2} e^{x}}$ et $4$ .

$\frac{4}{x^{2} e^{x}} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{4}{x^{2} e^{x}} (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{4}{x^{2} e^{x}} (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{4}{x^{2} e^{x}} (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x))$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4}{x^{2} e^{x}} (x^{2} e^{x}) + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Étape 7.2

Associez des termes.

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Étape 7.2.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{4}{x^{2} e^{x}}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 4}{x^{2} e^{x}} e^{x} + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Étape 7.2.2

Associez $\frac{x^{2} \cdot 4}{x^{2} e^{x}}$ et $e^{x}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 4 e^{x}}{x^{2} e^{x}} + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Étape 7.2.3

Déplacez $4$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{4 \cdot x^{2} e^{x}}{x^{2} e^{x}} + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Étape 7.2.4

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 7.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x^{2} e^{x}}{x^{2} e^{x}} + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Étape 7.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 e^{x}}{e^{x}} + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Étape 7.2.5

Annulez le facteur commun de $e^{x}$ .

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Étape 7.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 e^{x}}{e^{x}} + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Étape 7.2.5.2

Divisez $4$ par $1$ .

$4 + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Étape 7.2.6

Associez $e^{x}$ et $\frac{4}{x^{2} e^{x}}$ .

$4 + \frac{e^{x} \cdot 4}{x^{2} e^{x}} (2 x)$

Étape 7.2.7

Associez $2$ et $\frac{e^{x} \cdot 4}{x^{2} e^{x}}$ .

$4 + \frac{2 (e^{x} \cdot 4)}{x^{2} e^{x}} x$

Étape 7.2.8

Multipliez $4$ par $2$ .

$4 + \frac{8 e^{x}}{x^{2} e^{x}} x$

Étape 7.2.9

Associez $\frac{8 e^{x}}{x^{2} e^{x}}$ et $x$ .

$4 + \frac{8 e^{x} x}{x^{2} e^{x}}$

Étape 7.2.10

Annulez le facteur commun de $e^{x}$ .

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Étape 7.2.10.1

Annulez le facteur commun.

$4 + \frac{8 e^{x} x}{x^{2} e^{x}}$

Étape 7.2.10.2

Réécrivez l’expression.

$4 + \frac{8 x}{x^{2}}$

Étape 7.2.11

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 7.2.11.1

Factorisez $x$ à partir de $8 x$ .

$4 + \frac{x \cdot 8}{x^{2}}$

Étape 7.2.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.11.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$4 + \frac{x \cdot 8}{x \cdot x}$

Étape 7.2.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 + \frac{x \cdot 8}{x \cdot x}$

Étape 7.2.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 + \frac{8}{x}$

Étape 7.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{8}{x} + 4$