Calcul infinitésimal Exemples

$y = 4 x^{3} \cos (x) \sin (x)$

Étape 1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3} \cos (x) \sin (x)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x) \sin (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x) \sin (x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3} \cos (x)$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$4 (x^{3} \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x)])$

Étape 3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$4 (x^{3} \cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x)])$

Étape 4

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$4 (x^{3} (\cos^{1} (x) \cos (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x)])$

Étape 5

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$4 (x^{3} (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x)])$

Étape 6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 (x^{3} {\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x)])$

Étape 7

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 (x^{3} \cos^{2} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x)])$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$4 (x^{3} \cos^{2} (x) + \sin (x) (x^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]))$

Étape 9

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$4 (x^{3} \cos^{2} (x) + \sin (x) (x^{3} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]))$

Étape 10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 (x^{3} \cos^{2} (x) + \sin (x) (x^{3} (- \sin (x)) + \cos (x) (3 x^{2})))$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 (x^{3} \cos^{2} (x) + \sin (x) (x^{3} (- \sin (x))) + \sin (x) (\cos (x) (3 x^{2})))$

Étape 11.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 (x^{3} \cos^{2} (x)) + 4 (\sin (x) (x^{3} (- \sin (x)))) + 4 (\sin (x) (\cos (x) (3 x^{2})))$

Étape 11.3

Associez des termes.

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Étape 11.3.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$4 x^{3} \cos^{2} (x) + 4 (x^{3} (- (\sin^{1} (x) \sin (x)))) + 4 (\sin (x) (\cos (x) (3 x^{2})))$

Étape 11.3.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$4 x^{3} \cos^{2} (x) + 4 (x^{3} (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)))) + 4 (\sin (x) (\cos (x) (3 x^{2})))$

Étape 11.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 x^{3} \cos^{2} (x) + 4 (x^{3} (- {\sin (x)}^{1 + 1})) + 4 (\sin (x) (\cos (x) (3 x^{2})))$

Étape 11.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 x^{3} \cos^{2} (x) + 4 (x^{3} (- \sin^{2} (x))) + 4 (\sin (x) (\cos (x) (3 x^{2})))$

Étape 11.3.5

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$4 x^{3} \cos^{2} (x) - 4 (x^{3} (\sin^{2} (x))) + 4 (\sin (x) (\cos (x) (3 x^{2})))$

Étape 11.3.6

Multipliez $3$ par $4$ .

$4 x^{3} \cos^{2} (x) - 4 x^{3} \sin^{2} (x) + 12 \sin (x) \cos (x) x^{2}$

Étape 11.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$4 x^{3} \cos^{2} (x) - 4 x^{3} \sin^{2} (x) + 12 x^{2} \cos (x) \sin (x)$