Calcul infinitésimal Exemples

$y = 4 x^{3} \ln (2 x^{5})$

Étape 1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3} \ln (2 x^{5})$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (2 x^{5})]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (2 x^{5})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \ln (2 x^{5})$ .

$4 (x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (2 x^{5})] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 2 x^{5}$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x^{5}$ .

$4 (x^{3} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{5}]) + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 3.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$4 (x^{3} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x^{5}]) + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x^{5}$ .

$4 (x^{3} (\frac{1}{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{5}]) + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Associez $\frac{1}{2 x^{5}}$ et $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x^{5}$ .

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Étape 4.2.1

Multipliez par $1$ .

$4 (\frac{x^{3} \cdot 1}{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $2 x^{5}$ .

$4 (\frac{x^{3} \cdot 1}{x^{3} (2 x^{2})} \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 (\frac{x^{3} \cdot 1}{x^{3} (2 x^{2})} \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 (\frac{1}{2 x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{5}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$4 (\frac{1}{2 x^{2}} (2 \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4.4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.4.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$4 (\frac{2}{2 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 (\frac{2}{2 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$4 (\frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4.6

Simplifiez les termes.

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Étape 4.6.1

Associez $5$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$4 (\frac{5}{x^{2}} x^{4} + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4.6.2

Associez $\frac{5}{x^{2}}$ et $x^{4}$ .

$4 (\frac{5 x^{4}}{x^{2}} + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4.6.3

Annulez le facteur commun à $x^{4}$ et $x^{2}$ .

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Étape 4.6.3.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $5 x^{4}$ .

$4 (\frac{x^{2} (5 x^{2})}{x^{2}} + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4.6.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.6.3.2.1

Multipliez par $1$ .

$4 (\frac{x^{2} (5 x^{2})}{x^{2} \cdot 1} + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4.6.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 (\frac{x^{2} (5 x^{2})}{x^{2} \cdot 1} + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4.6.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 (\frac{5 x^{2}}{1} + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4.6.3.2.4

Divisez $5 x^{2}$ par $1$ .

$4 (5 x^{2} + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 (5 x^{2} + \ln (2 x^{5}) (3 x^{2}))$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 (5 x^{2}) + 4 (\ln (2 x^{5}) (3 x^{2}))$

Étape 5.2

Associez des termes.

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Étape 5.2.1

Multipliez $5$ par $4$ .

$20 x^{2} + 4 (\ln (2 x^{5}) (3 x^{2}))$

Étape 5.2.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$20 x^{2} + 12 \ln (2 x^{5}) x^{2}$

Étape 5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$20 x^{2} + 12 x^{2} \ln (2 x^{5})$