Calcul infinitésimal Exemples

$y = 5 (\tan (x) + \sec (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Étape 1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 (\tan (x) + \sec (x)) (\tan (x) - \sec (x))$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [(\tan (x) + \sec (x)) (\tan (x) - \sec (x))]$ .

$5 \frac{d}{d x} [(\tan (x) + \sec (x)) (\tan (x) - \sec (x))]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \tan (x) + \sec (x)$ et $g (x) = \tan (x) - \sec (x)$ .

$5 ((\tan (x) + \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x) - \sec (x)] + (\tan (x) - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x) + \sec (x)])$

Étape 3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\tan (x) - \sec (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]$ .

$5 ((\tan (x) + \sec (x)) (\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]) + (\tan (x) - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x) + \sec (x)])$

Étape 4

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$5 ((\tan (x) + \sec (x)) (\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]) + (\tan (x) - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x) + \sec (x)])$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sec (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$5 ((\tan (x) + \sec (x)) (\sec^{2} (x) - \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + (\tan (x) - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x) + \sec (x)])$

Étape 6

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$5 ((\tan (x) + \sec (x)) (\sec^{2} (x) - (\sec (x) \tan (x))) + (\tan (x) - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x) + \sec (x)])$

Étape 7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\tan (x) + \sec (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$5 ((\tan (x) + \sec (x)) (\sec^{2} (x) - \sec (x) \tan (x)) + (\tan (x) - \sec (x)) (\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

Étape 8

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$5 ((\tan (x) + \sec (x)) (\sec^{2} (x) - \sec (x) \tan (x)) + (\tan (x) - \sec (x)) (\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

Étape 9

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$5 ((\tan (x) + \sec (x)) (\sec^{2} (x) - \sec (x) \tan (x)) + (\tan (x) - \sec (x)) (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)))$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 ((\tan (x) + \sec (x)) (\sec^{2} (x) - \sec (x) \tan (x))) + 5 ((\tan (x) - \sec (x)) (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)))$

Étape 10.2

Supprimez les parenthèses.

$5 (\tan (x) + \sec (x)) (\sec^{2} (x) - \sec (x) \tan (x)) + 5 (\tan (x) - \sec (x)) (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x))$

Étape 10.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$5 (\sec^{2} (x) - \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) + \sec (x)) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Étape 10.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$(5 \sec^{2} (x) + 5 (- \sec (x) \tan (x))) (\tan (x) + \sec (x)) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Étape 10.4.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$(5 \sec^{2} (x) - 5 (\sec (x) \tan (x))) (\tan (x) + \sec (x)) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Étape 10.4.3

Développez $(5 \sec^{2} (x) - 5 \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) + \sec (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 10.4.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 \sec^{2} (x) (\tan (x) + \sec (x)) - 5 \sec (x) \tan (x) (\tan (x) + \sec (x)) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Étape 10.4.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x) \sec (x) - 5 \sec (x) \tan (x) (\tan (x) + \sec (x)) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Étape 10.4.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x) \sec (x) - 5 \sec (x) \tan (x) \tan (x) - 5 \sec (x) \tan (x) \sec (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Étape 10.4.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 10.4.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.4.4.1.1

Multipliez $\sec^{2} (x)$ par $\sec (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.4.4.1.1.1

Déplacez $\sec (x)$ .

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 (\sec (x) \sec^{2} (x)) - 5 \sec (x) \tan (x) \tan (x) - 5 \sec (x) \tan (x) \sec (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Étape 10.4.4.1.1.2

Multipliez $\sec (x)$ par $\sec^{2} (x)$ .

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Étape 10.4.4.1.1.2.1

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x)) - 5 \sec (x) \tan (x) \tan (x) - 5 \sec (x) \tan (x) \sec (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Étape 10.4.4.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 {\sec (x)}^{1 + 2} - 5 \sec (x) \tan (x) \tan (x) - 5 \sec (x) \tan (x) \sec (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Étape 10.4.4.1.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{3} (x) - 5 \sec (x) \tan (x) \tan (x) - 5 \sec (x) \tan (x) \sec (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Étape 10.4.4.1.2

Multipliez $- 5 \sec (x) \tan (x) \tan (x)$ .

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Étape 10.4.4.1.2.1

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{3} (x) - 5 \sec (x) (\tan^{1} (x) \tan (x)) - 5 \sec (x) \tan (x) \sec (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Étape 10.4.4.1.2.2

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{3} (x) - 5 \sec (x) (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) - 5 \sec (x) \tan (x) \sec (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Étape 10.4.4.1.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{3} (x) - 5 \sec (x) {\tan (x)}^{1 + 1} - 5 \sec (x) \tan (x) \sec (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Étape 10.4.4.1.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{3} (x) - 5 \sec (x) \tan^{2} (x) - 5 \sec (x) \tan (x) \sec (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Étape 10.4.4.1.3

Multipliez $- 5 \sec (x) \tan (x) \sec (x)$ .

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Étape 10.4.4.1.3.1

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{3} (x) - 5 \sec (x) \tan^{2} (x) - 5 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Étape 10.4.4.1.3.2

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{3} (x) - 5 \sec (x) \tan^{2} (x) - 5 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Étape 10.4.4.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{3} (x) - 5 \sec (x) \tan^{2} (x) - 5 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Étape 10.4.4.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{3} (x) - 5 \sec (x) \tan^{2} (x) - 5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Étape 10.4.4.2

Soustrayez $5 \sec^{2} (x) \tan (x)$ de $5 \sec^{2} (x) \tan (x)$ .

$0 + 5 \sec^{3} (x) - 5 \sec (x) \tan^{2} (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Étape 10.4.4.3

Additionnez $0$ et $5 \sec^{3} (x)$ .

$5 \sec^{3} (x) - 5 \sec (x) \tan^{2} (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Étape 10.4.5

Factorisez $5 \sec (x)$ à partir de $5 \sec^{3} (x) - 5 \sec (x) \tan^{2} (x)$ .

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Étape 10.4.5.1

Factorisez $5 \sec (x)$ à partir de $5 \sec^{3} (x)$ .

$5 \sec (x) (\sec^{2} (x)) - 5 \sec (x) \tan^{2} (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Étape 10.4.5.2

Factorisez $5 \sec (x)$ à partir de $- 5 \sec (x) \tan^{2} (x)$ .

$5 \sec (x) (\sec^{2} (x)) + 5 \sec (x) (- \tan^{2} (x)) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Étape 10.4.5.3

Factorisez $5 \sec (x)$ à partir de $5 \sec (x) (\sec^{2} (x)) + 5 \sec (x) (- \tan^{2} (x))$ .

$5 \sec (x) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Étape 10.4.6

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$5 \sec (x) \cdot 1 + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Étape 10.4.7

Multipliez $5$ par $1$ .

$5 \sec (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Étape 10.4.8

Appliquez la propriété distributive.

$5 \sec (x) + (5 \sec^{2} (x) + 5 (\sec (x) \tan (x))) (\tan (x) - \sec (x))$

Étape 10.4.9

Développez $(5 \sec^{2} (x) + 5 \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 10.4.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) (\tan (x) - \sec (x)) + 5 \sec (x) \tan (x) (\tan (x) - \sec (x))$

Étape 10.4.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x) (- \sec (x)) + 5 \sec (x) \tan (x) (\tan (x) - \sec (x))$

Étape 10.4.9.3

Appliquez la propriété distributive.

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x) (- \sec (x)) + 5 \sec (x) \tan (x) \tan (x) + 5 \sec (x) \tan (x) (- \sec (x))$

Étape 10.4.10

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 10.4.10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.4.10.1.1

Multipliez $\sec^{2} (x)$ par $\sec (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.4.10.1.1.1

Déplacez $\sec (x)$ .

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 (\sec (x) \sec^{2} (x)) \cdot - 1 + 5 \sec (x) \tan (x) \tan (x) + 5 \sec (x) \tan (x) (- \sec (x))$

Étape 10.4.10.1.1.2

Multipliez $\sec (x)$ par $\sec^{2} (x)$ .

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Étape 10.4.10.1.1.2.1

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x)) \cdot - 1 + 5 \sec (x) \tan (x) \tan (x) + 5 \sec (x) \tan (x) (- \sec (x))$

Étape 10.4.10.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 {\sec (x)}^{1 + 2} \cdot - 1 + 5 \sec (x) \tan (x) \tan (x) + 5 \sec (x) \tan (x) (- \sec (x))$

Étape 10.4.10.1.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{3} (x) \cdot - 1 + 5 \sec (x) \tan (x) \tan (x) + 5 \sec (x) \tan (x) (- \sec (x))$

Étape 10.4.10.1.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) - 5 \sec^{3} (x) + 5 \sec (x) \tan (x) \tan (x) + 5 \sec (x) \tan (x) (- \sec (x))$

Étape 10.4.10.1.3

Multipliez $5 \sec (x) \tan (x) \tan (x)$ .

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Étape 10.4.10.1.3.1

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) - 5 \sec^{3} (x) + 5 \sec (x) (\tan^{1} (x) \tan (x)) + 5 \sec (x) \tan (x) (- \sec (x))$

Étape 10.4.10.1.3.2

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) - 5 \sec^{3} (x) + 5 \sec (x) (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) + 5 \sec (x) \tan (x) (- \sec (x))$

Étape 10.4.10.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) - 5 \sec^{3} (x) + 5 \sec (x) {\tan (x)}^{1 + 1} + 5 \sec (x) \tan (x) (- \sec (x))$

Étape 10.4.10.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) - 5 \sec^{3} (x) + 5 \sec (x) \tan^{2} (x) + 5 \sec (x) \tan (x) (- \sec (x))$

Étape 10.4.10.1.4

Multipliez $5 \sec (x) \tan (x) (- \sec (x))$ .

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Étape 10.4.10.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) - 5 \sec^{3} (x) + 5 \sec (x) \tan^{2} (x) - 5 \sec (x) \tan (x) \sec (x)$

Étape 10.4.10.1.4.2

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) - 5 \sec^{3} (x) + 5 \sec (x) \tan^{2} (x) - 5 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x)$

Étape 10.4.10.1.4.3

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) - 5 \sec^{3} (x) + 5 \sec (x) \tan^{2} (x) - 5 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x)$

Étape 10.4.10.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) - 5 \sec^{3} (x) + 5 \sec (x) \tan^{2} (x) - 5 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)$

Étape 10.4.10.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) - 5 \sec^{3} (x) + 5 \sec (x) \tan^{2} (x) - 5 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Étape 10.4.10.2

Soustrayez $5 \sec^{2} (x) \tan (x)$ de $5 \sec^{2} (x) \tan (x)$ .

$5 \sec (x) + 0 - 5 \sec^{3} (x) + 5 \sec (x) \tan^{2} (x)$

Étape 10.4.10.3

Soustrayez $5 \sec^{3} (x)$ de $0$ .

$5 \sec (x) - 5 \sec^{3} (x) + 5 \sec (x) \tan^{2} (x)$

Étape 10.4.11

Factorisez $5 \sec (x)$ à partir de $- 5 \sec^{3} (x) + 5 \sec (x) \tan^{2} (x)$ .

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Étape 10.4.11.1

Factorisez $5 \sec (x)$ à partir de $- 5 \sec^{3} (x)$ .

$5 \sec (x) + 5 \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + 5 \sec (x) \tan^{2} (x)$

Étape 10.4.11.2

Factorisez $5 \sec (x)$ à partir de $5 \sec (x) \tan^{2} (x)$ .

$5 \sec (x) + 5 \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + 5 \sec (x) (\tan^{2} (x))$

Étape 10.4.11.3

Factorisez $5 \sec (x)$ à partir de $5 \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + 5 \sec (x) (\tan^{2} (x))$ .

$5 \sec (x) + 5 \sec (x) (- \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x))$

Étape 10.4.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sec^{2} (x)$ .

$5 \sec (x) + 5 \sec (x) (- (\sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x))$

Étape 10.4.13

Factorisez $- 1$ à partir de $\tan^{2} (x)$ .

$5 \sec (x) + 5 \sec (x) (- (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x)))$

Étape 10.4.14

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x))$ .

$5 \sec (x) + 5 \sec (x) (- (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)))$

Étape 10.4.15

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$5 \sec (x) + 5 \sec (x) (- 1 \cdot 1)$

Étape 10.4.16

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$5 \sec (x) + 5 \sec (x) \cdot - 1$

Étape 10.4.17

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$5 \sec (x) - 5 \sec (x)$

Étape 10.5

Soustrayez $5 \sec (x)$ de $5 \sec (x)$ .

$0$