Calcul infinitésimal Exemples

$y = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$

Étape 1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{4})]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{4})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \ln (\frac{x}{4})$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{4})] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \frac{x}{4}$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{4}$ .

$5 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$5 (x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{4}$ .

$5 (x^{2} (\frac{1}{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{x}{4}$ .

$5 (x^{2} (1 \frac{4}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{4}{x}$ par $1$ .

$5 (x^{2} (\frac{4}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 5.2

Associez $\frac{4}{x}$ et $x^{2}$ .

$5 (\frac{4 x^{2}}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $x$ à partir de $4 x^{2}$ .

$5 (\frac{x (4 x)}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 5.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$5 (\frac{x (4 x)}{x^{1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 5.3.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$5 (\frac{x (4 x)}{x \cdot 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 5.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$5 (\frac{x (4 x)}{x \cdot 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 5.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$5 (\frac{4 x}{1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 5.3.2.5

Divisez $4 x$ par $1$ .

$5 (4 x \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 6

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (4 x (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Associez $4$ et $\frac{1}{4}$ .

$5 (x (\frac{4}{4} \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 7.2

Associez $\frac{4}{4}$ et $x$ .

$5 (\frac{4 x}{4} \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 7.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 7.3.1

Annulez le facteur commun.

$5 (\frac{4 x}{4} \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 7.3.2

Divisez $x$ par $1$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 (x \cdot 1 + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 9

Multipliez $x$ par $1$ .

$5 (x + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 (x + \ln (\frac{x}{4}) (2 x))$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 x + 5 (\ln (\frac{x}{4}) (2 x))$

Étape 11.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$5 x + 10 \ln (\frac{x}{4}) x$

Étape 11.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$10 x \ln (\frac{x}{4}) + 5 x$