Calcul infinitésimal Exemples

$y = 5 x e^{5 x} - e^{5 x}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x e^{5 x} - e^{5 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x e^{5 x}]$ .

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Étape 2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x e^{5 x}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x e^{5 x}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{5 x}$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [e^{5 x}] + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $5 x$ .

$5 (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$5 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $5 x$ .

$5 (x (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

Étape 2.4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (x (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 (x (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 (x (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

Étape 2.7

Multipliez $5$ par $1$ .

$5 (x (e^{5 x} \cdot 5) + e^{5 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

Étape 2.8

Déplacez $5$ à gauche de $e^{5 x}$ .

$5 (x (5 \cdot e^{5 x}) + e^{5 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

Étape 2.9

Multipliez $e^{5 x}$ par $1$ .

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e^{5 x}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ .

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) - \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $5 x$ .

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $5 x$ .

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) - (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 3.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) - (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) - (e^{5 x} (5 \cdot 1))$

Étape 3.5

Multipliez $5$ par $1$ .

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) - (e^{5 x} \cdot 5)$

Étape 3.6

Déplacez $5$ à gauche de $e^{5 x}$ .

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) - (5 \cdot e^{5 x})$

Étape 3.7

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) - 5 e^{5 x}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 (x (5 e^{5 x})) + 5 e^{5 x} - 5 e^{5 x}$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$25 (x (e^{5 x})) + 5 e^{5 x} - 5 e^{5 x}$

Étape 4.2.2

Soustrayez $5 e^{5 x}$ de $5 e^{5 x}$ .

$25 x e^{5 x} + 0$

Étape 4.2.3

Additionnez $25 x e^{5 x}$ et $0$ .

$25 x e^{5 x}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $25 x e^{5 x}$ .

$25 e^{5 x} x$

Étape 4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $25 e^{5 x} x$ .

$25 x e^{5 x}$