Calcul infinitésimal Exemples

$y = 2 x \log (\sqrt{x})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 x \log (x^{\frac{1}{2}})]$

Étape 1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x \log (x^{\frac{1}{2}})$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x \log (x^{\frac{1}{2}})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x \log (x^{\frac{1}{2}})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \log (x^{\frac{1}{2}})$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [\log (x^{\frac{1}{2}})] + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \log (x)$ et $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [\log (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2

La dérivée de $\log (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u \ln (10)}$ .

$2 (x (\frac{1}{u \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4

Associez les fractions.

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Étape 4.1

Associez $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)}$ et $x$ .

$2 (\frac{x}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.2

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 (\frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 5.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (\frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 (\frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$2 (\frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 (\frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 11

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 12

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 13

Multipliez $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)}$ par $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{\ln (10) \cdot 2} + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 14

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 14.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}}{\ln (10) \cdot 2} + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 14.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 (\frac{x^{\frac{1 - 1}{2}}}{\ln (10) \cdot 2} + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 14.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$2 (\frac{x^{\frac{0}{2}}}{\ln (10) \cdot 2} + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 14.4

Divisez $0$ par $2$ .

$2 (\frac{x^{0}}{\ln (10) \cdot 2} + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 15

Simplifiez l’expression.

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Étape 15.1

Simplifiez $x^{0}$ .

$2 (\frac{1}{\ln (10) \cdot 2} + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 15.2

Déplacez $2$ à gauche de $\ln (10)$ .

$2 (\frac{1}{2 \cdot \ln (10)} + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 16

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (\frac{1}{2 \ln (10)} + \log (x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1)$

Étape 17

Multipliez $\log (x^{\frac{1}{2}})$ par $1$ .

$2 (\frac{1}{2 \ln (10)} + \log (x^{\frac{1}{2}}))$

Étape 18

Simplifiez

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Étape 18.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \frac{1}{2 \ln (10)} + 2 \log (x^{\frac{1}{2}})$

Étape 18.2

Associez des termes.

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Étape 18.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2 \ln (10)}$ .

$\frac{2}{2 \ln (10)} + 2 \log (x^{\frac{1}{2}})$

Étape 18.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 18.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2 \ln (10)} + 2 \log (x^{\frac{1}{2}})$

Étape 18.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\ln (10)} + 2 \log (x^{\frac{1}{2}})$

Étape 18.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 \log (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{\ln (10)}$