Calcul infinitésimal Exemples

$y = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Étape 2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$2 \cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 \cos (x) - (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 3.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$2 \cos (x) - (2 \cos (x) (- \sin (x)))$

Étape 3.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 \cos (x) - (- 2 \cos (x) \sin (x))$

Étape 3.5

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$2 \cos (x) + 2 \cos (x) \sin (x)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x)$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Remettez dans l’ordre $2 \cos (x)$ et $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x)$

Étape 4.2.2

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x)$

Étape 4.2.3

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\sin (2 x) + 2 \cos (x)$