Calcul infinitésimal Exemples

$y = 3 x^{2} + 7 e^{2 x}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} + 7 e^{2 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 e^{2 x}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 e^{2 x}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [7 e^{2 x}]$

Étape 2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [7 e^{2 x}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 e^{2 x}]$ .

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Étape 3.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 e^{2 x}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$6 x + 7 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$6 x + 7 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$6 x + 7 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$6 x + 7 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x + 7 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 x + 7 (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Étape 3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$6 x + 7 (e^{2 x} \cdot 2)$

Étape 3.6

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$6 x + 7 (2 \cdot e^{2 x})$

Étape 3.7

Multipliez $2$ par $7$ .

$6 x + 14 e^{2 x}$