Calcul infinitésimal Exemples

$y = 3 \sqrt[3]{2 x^{2} + 1}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{2 x^{2} + 1}$ comme ${(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]$

Étape 1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = 2 x^{2} + 1$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x^{2} + 1$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x^{2} + 1$ .

$3 (\frac{1}{3} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 (\frac{1}{3} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$3 (\frac{1}{3} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

Étape 6.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$3 (\frac{1}{3} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 (\frac{1}{3} {(2 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

Étape 7.2

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(2 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$3 (\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

Étape 7.3

Placez ${(2 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (\frac{1}{3 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

Étape 7.4

Associez $\frac{1}{3 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ et $3$ .

$\frac{3}{3 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1]$

Étape 7.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{3 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1]$

Étape 7.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1]$

Étape 8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 9

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 11

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (4 x + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 12

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (4 x + 0)$

Étape 13

Associez les fractions.

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Étape 13.1

Additionnez $4 x$ et $0$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (4 x)$

Étape 13.2

Associez $4$ et $\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} x$

Étape 13.3

Associez $\frac{4}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ et $x$ .

$\frac{4 x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$