Calcul infinitésimal Exemples

$y = 3 e^{\frac{6}{x}}$

Étape 1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 e^{\frac{6}{x}}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [e^{\frac{6}{x}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{\frac{6}{x}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \frac{6}{x}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{6}{x}$ .

$3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{6}{x}])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$3 (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{6}{x}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{6}{x}$ .

$3 (e^{\frac{6}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{6}{x}])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{6}{x}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 e^{\frac{6}{x}} (6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Étape 3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.1

Multipliez $6$ par $3$ .

$18 e^{\frac{6}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 3.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$18 e^{\frac{6}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$18 e^{\frac{6}{x}} (- x^{- 2})$

Étape 3.4

Multipliez $- 1$ par $18$ .

$- 18 e^{\frac{6}{x}} x^{- 2}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 18 e^{\frac{6}{x}} \frac{1}{x^{2}}$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Associez $\frac{1}{x^{2}}$ et $- 18$ .

$\frac{- 18}{x^{2}} e^{\frac{6}{x}}$

Étape 4.2.2

Associez $\frac{- 18}{x^{2}}$ et $e^{\frac{6}{x}}$ .

$\frac{- 18 e^{\frac{6}{x}}}{x^{2}}$

Étape 4.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{18 e^{\frac{6}{x}}}{x^{2}}$