Calcul infinitésimal Exemples

$y = 3 (4 x + \ln ({(x^{2})}^{2}))$

Étape 1

Différenciez.

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Étape 1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [3 (4 x + \ln (x^{2 \cdot 2}))]$

Étape 1.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{d}{d x} [3 (4 x + \ln (x^{4}))]$

Étape 1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 (4 x + \ln (x^{4}))$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [4 x + \ln (x^{4})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [4 x + \ln (x^{4})]$

Étape 1.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x + \ln (x^{4})$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{4})]$ .

$3 (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{4})])$

Étape 1.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{4})])$

Étape 1.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (x^{4})])$

Étape 1.6

Multipliez $4$ par $1$ .

$3 (4 + \frac{d}{d x} [\ln (x^{4})])$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{4}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{4}$ .

$3 (4 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$3 (4 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{4}$ .

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (4 + \frac{1}{x^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$3 (4 + \frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$3 (4 + \frac{1}{x^{4}} (4 x^{3}))$

Étape 3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.1

Associez $4$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$3 (4 + \frac{4}{x^{4}} x^{3})$

Étape 3.2.2

Associez $\frac{4}{x^{4}}$ et $x^{3}$ .

$3 (4 + \frac{4 x^{3}}{x^{4}})$

Étape 3.2.3

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x^{4}$ .

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Étape 3.2.3.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $4 x^{3}$ .

$3 (4 + \frac{x^{3} \cdot 4}{x^{4}})$

Étape 3.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.3.2.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{4}$ .

$3 (4 + \frac{x^{3} \cdot 4}{x^{3} x})$

Étape 3.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 (4 + \frac{x^{3} \cdot 4}{x^{3} x})$

Étape 3.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 (4 + \frac{4}{x})$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 \cdot 4 + 3 \frac{4}{x}$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 + 3 \frac{4}{x}$

Étape 4.2.2

Associez $3$ et $\frac{4}{x}$ .

$12 + \frac{3 \cdot 4}{x}$

Étape 4.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 + \frac{12}{x}$

Étape 4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{12}{x} + 12$