Calcul infinitésimal Exemples

$y = 3 {(2 - x^{2})}^{4}$

Étape 1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 {(2 - x^{2})}^{4}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [{(2 - x^{2})}^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(2 - x^{2})}^{4}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = 2 - x^{2}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 - x^{2}$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [2 - x^{2}])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$3 (4 u^{3} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 - x^{2}$ .

$3 (4 {(2 - x^{2})}^{3} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Multipliez $4$ par $3$ .

$12 ({(2 - x^{2})}^{3} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}])$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$12 {(2 - x^{2})}^{3} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$12 {(2 - x^{2})}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 3.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$12 {(2 - x^{2})}^{3} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 {(2 - x^{2})}^{3} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.6

Multipliez $- 1$ par $12$ .

$- 12 {(2 - x^{2})}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 12 {(2 - x^{2})}^{3} (2 x)$

Étape 3.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.8.1

Multipliez $2$ par $- 12$ .

$- 24 {(2 - x^{2})}^{3} x$

Étape 3.8.2

Réorganisez les facteurs de $- 24 {(2 - x^{2})}^{3} x$ .

$- 24 x {(2 - x^{2})}^{3}$