Calcul infinitésimal Exemples

$y = 3 \cdot 4^{x^{2} + 2}$

Étape 1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \cdot 4^{x^{2} + 2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [4^{x^{2} + 2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [4^{x^{2} + 2}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = 4^{x}$ et $g (x) = x^{2} + 2$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 2$ .

$3 (\frac{d}{d u} [4^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $4$ .

$3 (4^{u} \ln (4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 2$ .

$3 (4^{x^{2} + 2} \ln (4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$3 \cdot 4^{x^{2} + 2} \ln (4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 \cdot 4^{x^{2} + 2} \ln (4) (2 x + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 \cdot 4^{x^{2} + 2} \ln (4) (2 x + 0)$

Étape 3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$3 \cdot 4^{x^{2} + 2} \ln (4) (2 x)$

Étape 3.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 \cdot 4^{x^{2} + 2} \ln (4) x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réorganisez les facteurs de $6 \cdot 4^{x^{2} + 2} \ln (4) x$ .

$6 \cdot 4^{x^{2} + 2} x \ln (4)$

Étape 4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $6 \cdot 4^{x^{2} + 2} x \ln (4)$ .

$6 x \cdot 4^{x^{2} + 2} \ln (4)$