Calcul infinitésimal Exemples

$y = 1 - \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x)$

Étape 1

Différenciez.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$

Étape 1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

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Étape 2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x$ .

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$0 - (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$0 - (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$

Étape 2.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$

Étape 2.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$0 - (- \sin (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$

Étape 2.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$0 - (- 2 \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$

Étape 2.7

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$0 + 2 \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$ .

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Étape 3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \cos^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$0 + 2 \sin (2 x) + 2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\cos (x)$ .

$0 + 2 \sin (2 x) + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 \sin (2 x) + 2 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\cos (x)$ .

$0 + 2 \sin (2 x) + 2 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 3.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$0 + 2 \sin (2 x) + 2 (2 \cos (x) (- \sin (x)))$

Étape 3.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$0 + 2 \sin (2 x) + 2 (- 2 \cos (x) \sin (x))$

Étape 3.5

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$0 + 2 \sin (2 x) - 4 \cos (x) \sin (x)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Additionnez $0$ et $2 \sin (2 x)$ .

$2 \sin (2 x) - 4 \cos (x) \sin (x)$

Étape 4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 4 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin (2 x)$