Calcul infinitésimal Exemples

$y = 2 \csc^{3} (\sqrt{x})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}})]$

Étape 1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}})$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\csc^{3} (x^{\frac{1}{2}})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\csc^{3} (x^{\frac{1}{2}})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \csc (x^{\frac{1}{2}})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\csc (x^{\frac{1}{2}})$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\csc (x^{\frac{1}{2}})])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\csc (x^{\frac{1}{2}})])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\csc (x^{\frac{1}{2}})$ .

$2 (3 \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [\csc (x^{\frac{1}{2}})])$

Étape 3

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 (\csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [\csc (x^{\frac{1}{2}})])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \csc (x)$ et $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 4.2

La dérivée de $\csc (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$6 \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (- \csc (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 5

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$- 6 \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\csc (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 6

Élevez $\csc (x^{\frac{1}{2}})$ à la puissance $1$ .

$- 6 (\csc^{1} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}})) (\cot (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 6 {\csc (x^{\frac{1}{2}})}^{1 + 2} (\cot (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 8

Additionnez $1$ et $2$ .

$- 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) (\cot (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$- 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 10

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 11

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 13

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 13.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 14

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 15

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 16

Associez $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $- 6$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 6}{2} \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}})$

Étape 17

Associez $\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 6}{2}$ et $\csc^{3} (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{2} \cot (x^{\frac{1}{2}})$

Étape 18

Associez $\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{2}$ et $\cot (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Étape 19

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.1

Déplacez $- 6$ à gauche de $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 6 \cdot x^{- \frac{1}{2}} \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Étape 19.2

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 20

Factorisez $2$ à partir de $- 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (- 3 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 21

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 21.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- 3 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}))}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Étape 21.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 3 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 21.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 22

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$