Calcul infinitésimal Exemples

$y = \arccos (\frac{2 x}{1 + x^{2}})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arccos (x)$ et $g (x) = \frac{2 x}{1 + x^{2}}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{2 x}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\arccos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{1 + x^{2}}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\arccos (u)$ par rapport à $u$ est $- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{1 + x^{2}}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{2 x}{1 + x^{2}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{1 + x^{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 x}{1 + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} (2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}])$

Étape 2.2

Associez les fractions.

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Étape 2.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

Étape 2.2.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}}$ .

$\frac{- 2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

Étape 2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 1 + x^{2}$ .

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{(1 + x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4.2

Multipliez $1 + x^{2}$ par $1$ .

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2} - x (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 (x^{1} x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 (x^{1} x^{1})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 x^{1 + 1}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 8

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 9

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 10

Multipliez $\frac{1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ par $\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}}$ .

$- \frac{(1 - x^{2}) \cdot 2}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}}$

Étape 11

Déplacez $2$ à gauche de $1 - x^{2}$ .

$- \frac{2 \cdot (1 - x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}}$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2 x}{1 + x^{2}}$ .

$- \frac{2 (1 - x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{{(2 x)}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Étape 12.2

Appliquez la règle de produit à $2 x$ .

$- \frac{2 (1 - x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{2^{2} x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Étape 12.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2 \cdot 1 + 2 (- x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{2^{2} x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Étape 12.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.4.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$- \frac{2 + 2 (- x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{2^{2} x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Étape 12.4.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{2 - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{2^{2} x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Étape 12.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- \frac{2 - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Étape 12.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 - 2 x^{2}$ .

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Étape 12.6.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{2 (1) - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Étape 12.6.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$- \frac{2 (1) + 2 (- x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Étape 12.6.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (1) + 2 (- x^{2})$ .

$- \frac{2 (1 - x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Étape 12.6.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- \frac{2 (1^{2} - x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Étape 12.6.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Étape 12.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.7.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \frac{4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Étape 12.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Étape 12.7.3

Réécrivez $\frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ en forme factorisée.

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Étape 12.7.3.1

Réécrivez $4 x^{2}$ comme ${(2 x)}^{2}$ .

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x^{2})}^{2} - {(2 x)}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Étape 12.7.3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1 + x^{2}$ et $b = 2 x$ .

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(1 + x^{2} + 2 x) (1 + x^{2} - (2 x))}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Étape 12.7.3.3

Simplifiez

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Étape 12.7.3.3.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 12.7.3.3.1.1

Réorganisez les termes.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(1 + 2 x + x^{2}) (1 + x^{2} - (2 x))}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Étape 12.7.3.3.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(1^{2} + 2 x + x^{2}) (1 + x^{2} - (2 x))}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Étape 12.7.3.3.1.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot 1 \cdot x$

Étape 12.7.3.3.1.4

Réécrivez le polynôme.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot x + x^{2}) (1 + x^{2} - (2 x))}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Étape 12.7.3.3.1.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = 1$ et $b = x$ .

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x)}^{2} (1 + x^{2} - (2 x))}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Étape 12.7.3.3.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 12.7.3.3.2.1

Réorganisez les termes.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x)}^{2} (1 - 1 \cdot 2 x + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Étape 12.7.3.3.2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x)}^{2} (1^{2} - 1 \cdot 2 x + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Étape 12.7.3.3.2.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$1 \cdot 2 x = 2 \cdot 1 \cdot x$

Étape 12.7.3.3.2.4

Réécrivez le polynôme.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x)}^{2} (1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot x + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Étape 12.7.3.3.2.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = 1$ et $b = x$ .

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Étape 12.7.4

Réécrivez ${(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}$ comme ${((1 + x) (1 - x))}^{2}$ .

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{((1 + x) (1 - x))}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Étape 12.7.5

Réécrivez $\frac{{((1 + x) (1 - x))}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ comme ${(\frac{(1 + x) (1 - x)}{1 + x^{2}})}^{2}$ .

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{{(\frac{(1 + x) (1 - x)}{1 + x^{2}})}^{2}}}$

Étape 12.7.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{(1 + x) (1 - x)}{1 + x^{2}}}$

Étape 12.8

Associez ${(1 + x^{2})}^{2}$ et $\frac{(1 + x) (1 - x)}{1 + x^{2}}$ .

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{\frac{{(1 + x^{2})}^{2} ((1 + x) (1 - x))}{1 + x^{2}}}$

Étape 12.9

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 12.9.1

Réduisez l’expression $\frac{{(1 + x^{2})}^{2} (1 + x) (1 - x)}{1 + x^{2}}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 12.9.1.1

Factorisez $1 + x^{2}$ à partir de ${(1 + x^{2})}^{2} (1 + x) (1 - x)$ .

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{\frac{(1 + x^{2}) (((1 + x^{2}) (1 + x)) (1 - x))}{1 + x^{2}}}$

Étape 12.9.1.2

Multipliez par $1$ .

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{\frac{(1 + x^{2}) (((1 + x^{2}) (1 + x)) (1 - x))}{(1 + x^{2}) \cdot 1}}$

Étape 12.9.1.3

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{\frac{(1 + x^{2}) (((1 + x^{2}) (1 + x)) (1 - x))}{(1 + x^{2}) \cdot 1}}$

Étape 12.9.1.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{\frac{((1 + x^{2}) (1 + x)) (1 - x)}{1}}$

Étape 12.9.2

Divisez $((1 + x^{2}) (1 + x)) (1 - x)$ par $1$ .

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{((1 + x^{2}) (1 + x)) (1 - x)}$

Étape 12.10

Annulez le facteur commun de $1 + x$ .

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Étape 12.10.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x^{2}) (1 + x) (1 - x)}$

Étape 12.10.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{2 (1 - x)}{(1 + x^{2}) (1 - x)}$

Étape 12.11

Annulez le facteur commun de $1 - x$ .

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Étape 12.11.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 (1 - x)}{(1 + x^{2}) (1 - x)}$

Étape 12.11.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{2}{1 + x^{2}}$