Calcul infinitésimal Exemples

$y = 9 x^{5} \arcsin (9 x^{5}) + \sqrt{1 - 81 x^{10}}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 x^{5} \arcsin (9 x^{5}) + \sqrt{1 - 81 x^{10}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9 x^{5} \arcsin (9 x^{5})] + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - 81 x^{10}}]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{5} \arcsin (9 x^{5})] + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - 81 x^{10}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 x^{5} \arcsin (9 x^{5})]$ .

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Étape 2.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{5} \arcsin (9 x^{5})$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{5} \arcsin (9 x^{5})]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{5} \arcsin (9 x^{5})] + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - 81 x^{10}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = \arcsin (9 x^{5})$ .

$9 (x^{5} \frac{d}{d x} [\arcsin (9 x^{5})] + \arcsin (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - 81 x^{10}}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arcsin (x)$ et $g (x) = 9 x^{5}$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $9 x^{5}$ .

$9 (x^{5} (\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [9 x^{5}]) + \arcsin (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - 81 x^{10}}]$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\arcsin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$9 (x^{5} (\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [9 x^{5}]) + \arcsin (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - 81 x^{10}}]$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $9 x^{5}$ .

$9 (x^{5} (\frac{1}{\sqrt{1 - {(9 x^{5})}^{2}}} \frac{d}{d x} [9 x^{5}]) + \arcsin (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - 81 x^{10}}]$

Étape 2.4

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{5}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$9 (x^{5} (\frac{1}{\sqrt{1 - {(9 x^{5})}^{2}}} (9 \frac{d}{d x} [x^{5}])) + \arcsin (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - 81 x^{10}}]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$9 (x^{5} (\frac{1}{\sqrt{1 - {(9 x^{5})}^{2}}} (9 (5 x^{4}))) + \arcsin (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - 81 x^{10}}]$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$9 (x^{5} (\frac{1}{\sqrt{1 - {(9 x^{5})}^{2}}} (9 (5 x^{4}))) + \arcsin (9 x^{5}) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - 81 x^{10}}]$

Étape 2.7

Factorisez $9$ à partir de $9 x^{5}$ .

$9 (x^{5} (\frac{1}{\sqrt{1 - {(9 (x^{5}))}^{2}}} (9 (5 x^{4}))) + \arcsin (9 x^{5}) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - 81 x^{10}}]$

Étape 2.8

Appliquez la règle de produit à $9 (x^{5})$ .

$9 (x^{5} (\frac{1}{\sqrt{1 - (9^{2} {(x^{5})}^{2})}} (9 (5 x^{4}))) + \arcsin (9 x^{5}) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - 81 x^{10}}]$

Étape 2.9

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$9 (x^{5} (\frac{1}{\sqrt{1 - (81 {(x^{5})}^{2})}} (9 (5 x^{4}))) + \arcsin (9 x^{5}) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - 81 x^{10}}]$

Étape 2.10

Multipliez les exposants dans ${(x^{5})}^{2}$ .

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Étape 2.10.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 (x^{5} (\frac{1}{\sqrt{1 - (81 x^{5 \cdot 2})}} (9 (5 x^{4}))) + \arcsin (9 x^{5}) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - 81 x^{10}}]$

Étape 2.10.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$9 (x^{5} (\frac{1}{\sqrt{1 - (81 x^{10})}} (9 (5 x^{4}))) + \arcsin (9 x^{5}) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - 81 x^{10}}]$

Étape 2.11

Multipliez $81$ par $- 1$ .

$9 (x^{5} (\frac{1}{\sqrt{1 - 81 x^{10}}} (9 (5 x^{4}))) + \arcsin (9 x^{5}) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - 81 x^{10}}]$

Étape 2.12

Multipliez $5$ par $9$ .

$9 (x^{5} (\frac{1}{\sqrt{1 - 81 x^{10}}} (45 x^{4})) + \arcsin (9 x^{5}) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - 81 x^{10}}]$

Étape 2.13

Associez $45$ et $\frac{1}{\sqrt{1 - 81 x^{10}}}$ .

$9 (x^{5} (\frac{45}{\sqrt{1 - 81 x^{10}}} x^{4}) + \arcsin (9 x^{5}) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - 81 x^{10}}]$

Étape 2.14

Associez $\frac{45}{\sqrt{1 - 81 x^{10}}}$ et $x^{4}$ .

$9 (x^{5} \frac{45 x^{4}}{\sqrt{1 - 81 x^{10}}} + \arcsin (9 x^{5}) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - 81 x^{10}}]$

Étape 2.15

Associez $x^{5}$ et $\frac{45 x^{4}}{\sqrt{1 - 81 x^{10}}}$ .

$9 (\frac{x^{5} (45 x^{4})}{\sqrt{1 - 81 x^{10}}} + \arcsin (9 x^{5}) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - 81 x^{10}}]$

Étape 2.16

Multipliez $x^{5}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.16.1

Déplacez $x^{4}$ .

$9 (\frac{x^{4} x^{5} \cdot 45}{\sqrt{1 - 81 x^{10}}} + \arcsin (9 x^{5}) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - 81 x^{10}}]$

Étape 2.16.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$9 (\frac{x^{4 + 5} \cdot 45}{\sqrt{1 - 81 x^{10}}} + \arcsin (9 x^{5}) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - 81 x^{10}}]$

Étape 2.16.3

Additionnez $4$ et $5$ .

$9 (\frac{x^{9} \cdot 45}{\sqrt{1 - 81 x^{10}}} + \arcsin (9 x^{5}) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - 81 x^{10}}]$

Étape 2.17

Déplacez $45$ à gauche de $x^{9}$ .

$9 (\frac{45 x^{9}}{\sqrt{1 - 81 x^{10}}} + \arcsin (9 x^{5}) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - 81 x^{10}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt{1 - 81 x^{10}}]$ .

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 - 81 x^{10}}$ comme ${(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}$ .

$9 (\frac{45 x^{9}}{\sqrt{1 - 81 x^{10}}} + \arcsin (9 x^{5}) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 1 - 81 x^{10}$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $1 - 81 x^{10}$ .

$9 (\frac{45 x^{9}}{\sqrt{1 - 81 x^{10}}} + \arcsin (9 x^{5}) (5 x^{4})) + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - 81 x^{10}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$9 (\frac{45 x^{9}}{\sqrt{1 - 81 x^{10}}} + \arcsin (9 x^{5}) (5 x^{4})) + \frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - 81 x^{10}]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 - 81 x^{10}$ .

$9 (\frac{45 x^{9}}{\sqrt{1 - 81 x^{10}}} + \arcsin (9 x^{5}) (5 x^{4})) + \frac{1}{2} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - 81 x^{10}]$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 81 x^{10}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{10}]$ .

$9 (\frac{45 x^{9}}{\sqrt{1 - 81 x^{10}}} + \arcsin (9 x^{5}) (5 x^{4})) + \frac{1}{2} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{10}])$

Étape 3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$9 (\frac{45 x^{9}}{\sqrt{1 - 81 x^{10}}} + \arcsin (9 x^{5}) (5 x^{4})) + \frac{1}{2} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- 81 x^{10}])$

Étape 3.5

Comme $- 81$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 81 x^{10}$ par rapport à $x$ est $- 81 \frac{d}{d x} [x^{10}]$ .

$9 (\frac{45 x^{9}}{\sqrt{1 - 81 x^{10}}} + \arcsin (9 x^{5}) (5 x^{4})) + \frac{1}{2} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 81 \frac{d}{d x} [x^{10}])$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 10$ .

$9 (\frac{45 x^{9}}{\sqrt{1 - 81 x^{10}}} + \arcsin (9 x^{5}) (5 x^{4})) + \frac{1}{2} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 81 (10 x^{9}))$

Étape 3.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$9 (\frac{45 x^{9}}{\sqrt{1 - 81 x^{10}}} + \arcsin (9 x^{5}) (5 x^{4})) + \frac{1}{2} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 81 (10 x^{9}))$

Étape 3.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$9 (\frac{45 x^{9}}{\sqrt{1 - 81 x^{10}}} + \arcsin (9 x^{5}) (5 x^{4})) + \frac{1}{2} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 81 (10 x^{9}))$

Étape 3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$9 (\frac{45 x^{9}}{\sqrt{1 - 81 x^{10}}} + \arcsin (9 x^{5}) (5 x^{4})) + \frac{1}{2} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 81 (10 x^{9}))$

Étape 3.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$9 (\frac{45 x^{9}}{\sqrt{1 - 81 x^{10}}} + \arcsin (9 x^{5}) (5 x^{4})) + \frac{1}{2} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 81 (10 x^{9}))$

Étape 3.10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$9 (\frac{45 x^{9}}{\sqrt{1 - 81 x^{10}}} + \arcsin (9 x^{5}) (5 x^{4})) + \frac{1}{2} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 81 (10 x^{9}))$

Étape 3.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$9 (\frac{45 x^{9}}{\sqrt{1 - 81 x^{10}}} + \arcsin (9 x^{5}) (5 x^{4})) + \frac{1}{2} {(1 - 81 x^{10})}^{- \frac{1}{2}} (0 - 81 (10 x^{9}))$

Étape 3.12

Multipliez $10$ par $- 81$ .

$9 (\frac{45 x^{9}}{\sqrt{1 - 81 x^{10}}} + \arcsin (9 x^{5}) (5 x^{4})) + \frac{1}{2} {(1 - 81 x^{10})}^{- \frac{1}{2}} (0 - 810 x^{9})$

Étape 3.13

Soustrayez $810 x^{9}$ de $0$ .

$9 (\frac{45 x^{9}}{\sqrt{1 - 81 x^{10}}} + \arcsin (9 x^{5}) (5 x^{4})) + \frac{1}{2} {(1 - 81 x^{10})}^{- \frac{1}{2}} (- 810 x^{9})$

Étape 3.14

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(1 - 81 x^{10})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$9 (\frac{45 x^{9}}{\sqrt{1 - 81 x^{10}}} + \arcsin (9 x^{5}) (5 x^{4})) + \frac{{(1 - 81 x^{10})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (- 810 x^{9})$

Étape 3.15

Associez $- 810$ et $\frac{{(1 - 81 x^{10})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$9 (\frac{45 x^{9}}{\sqrt{1 - 81 x^{10}}} + \arcsin (9 x^{5}) (5 x^{4})) + \frac{- 810 {(1 - 81 x^{10})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x^{9}$

Étape 3.16

Associez $\frac{- 810 {(1 - 81 x^{10})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $x^{9}$ .

$9 (\frac{45 x^{9}}{\sqrt{1 - 81 x^{10}}} + \arcsin (9 x^{5}) (5 x^{4})) + \frac{- 810 {(1 - 81 x^{10})}^{- \frac{1}{2}} x^{9}}{2}$

Étape 3.17

Placez ${(1 - 81 x^{10})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 (\frac{45 x^{9}}{\sqrt{1 - 81 x^{10}}} + \arcsin (9 x^{5}) (5 x^{4})) + \frac{- 810 x^{9}}{2 {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.18

Factorisez $2$ à partir de $- 810 x^{9}$ .

$9 (\frac{45 x^{9}}{\sqrt{1 - 81 x^{10}}} + \arcsin (9 x^{5}) (5 x^{4})) + \frac{2 (- 405 x^{9})}{2 {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.19

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.19.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}$ .

$9 (\frac{45 x^{9}}{\sqrt{1 - 81 x^{10}}} + \arcsin (9 x^{5}) (5 x^{4})) + \frac{2 (- 405 x^{9})}{2 ({(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 3.19.2

Annulez le facteur commun.

$9 (\frac{45 x^{9}}{\sqrt{1 - 81 x^{10}}} + \arcsin (9 x^{5}) (5 x^{4})) + \frac{2 (- 405 x^{9})}{2 {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.19.3

Réécrivez l’expression.

$9 (\frac{45 x^{9}}{\sqrt{1 - 81 x^{10}}} + \arcsin (9 x^{5}) (5 x^{4})) + \frac{- 405 x^{9}}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.20

Placez le signe moins devant la fraction.

$9 (\frac{45 x^{9}}{\sqrt{1 - 81 x^{10}}} + \arcsin (9 x^{5}) (5 x^{4})) - \frac{405 x^{9}}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$9 \frac{45 x^{9}}{\sqrt{1 - 81 x^{10}}} + 9 (\arcsin (9 x^{5}) (5 x^{4})) - \frac{405 x^{9}}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Associez $9$ et $\frac{45 x^{9}}{\sqrt{1 - 81 x^{10}}}$ .

$\frac{9 (45 x^{9})}{\sqrt{1 - 81 x^{10}}} + 9 (\arcsin (9 x^{5}) (5 x^{4})) - \frac{405 x^{9}}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.2.2

Multipliez $45$ par $9$ .

$\frac{405 x^{9}}{\sqrt{1 - 81 x^{10}}} + 9 (\arcsin (9 x^{5}) (5 x^{4})) - \frac{405 x^{9}}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.2.3

Multipliez $5$ par $9$ .

$\frac{405 x^{9}}{\sqrt{1 - 81 x^{10}}} + 45 \arcsin (9 x^{5}) x^{4} - \frac{405 x^{9}}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{405 x^{9}}{\sqrt{1 - 81 x^{10}}} - \frac{405 x^{9}}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}} + 45 x^{4} \arcsin (9 x^{5})$

Étape 4.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.4.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{405 x^{9}}{\sqrt{1^{2} - 81 x^{10}}} - \frac{405 x^{9}}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}} + 45 x^{4} \arcsin (9 x^{5})$

Étape 4.4.1.2

Réécrivez $81 x^{10}$ comme ${(9 x^{5})}^{2}$ .

$\frac{405 x^{9}}{\sqrt{1^{2} - {(9 x^{5})}^{2}}} - \frac{405 x^{9}}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}} + 45 x^{4} \arcsin (9 x^{5})$

Étape 4.4.1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = 9 x^{5}$ .

$\frac{405 x^{9}}{\sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - (9 x^{5}))}} - \frac{405 x^{9}}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}} + 45 x^{4} \arcsin (9 x^{5})$

Étape 4.4.1.4

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$\frac{405 x^{9}}{\sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}} - \frac{405 x^{9}}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}} + 45 x^{4} \arcsin (9 x^{5})$

Étape 4.4.2

Multipliez $\frac{405 x^{9}}{\sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}}$ par $\frac{\sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}}{\sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}}$ .

$\frac{405 x^{9}}{\sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}}{\sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}} - \frac{405 x^{9}}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}} + 45 x^{4} \arcsin (9 x^{5})$

Étape 4.4.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.4.3.1

Multipliez $\frac{405 x^{9}}{\sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}}$ par $\frac{\sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}}{\sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}}$ .

$\frac{405 x^{9} \sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}}{\sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} \sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}} - \frac{405 x^{9}}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}} + 45 x^{4} \arcsin (9 x^{5})$

Étape 4.4.3.2

Élevez $\sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$ à la puissance $1$ .

$\frac{405 x^{9} \sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}}{{\sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}}^{1} \sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}} - \frac{405 x^{9}}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}} + 45 x^{4} \arcsin (9 x^{5})$

Étape 4.4.3.3

Élevez $\sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$ à la puissance $1$ .

$\frac{405 x^{9} \sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}}{{\sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}}^{1} {\sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}}^{1}} - \frac{405 x^{9}}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}} + 45 x^{4} \arcsin (9 x^{5})$

Étape 4.4.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{405 x^{9} \sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}}{{\sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}}^{1 + 1}} - \frac{405 x^{9}}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}} + 45 x^{4} \arcsin (9 x^{5})$

Étape 4.4.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{405 x^{9} \sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}}{{\sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}}^{2}} - \frac{405 x^{9}}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}} + 45 x^{4} \arcsin (9 x^{5})$

Étape 4.4.3.6

Réécrivez ${\sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}}^{2}$ comme $(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})$ .

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Étape 4.4.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$ comme ${((1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{405 x^{9} \sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}}{{({((1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \frac{405 x^{9}}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}} + 45 x^{4} \arcsin (9 x^{5})$

Étape 4.4.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{405 x^{9} \sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}}{{((1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \frac{405 x^{9}}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}} + 45 x^{4} \arcsin (9 x^{5})$

Étape 4.4.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{405 x^{9} \sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}}{{((1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}))}^{\frac{2}{2}}} - \frac{405 x^{9}}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}} + 45 x^{4} \arcsin (9 x^{5})$

Étape 4.4.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{405 x^{9} \sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}}{{((1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}))}^{\frac{2}{2}}} - \frac{405 x^{9}}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}} + 45 x^{4} \arcsin (9 x^{5})$

Étape 4.4.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{405 x^{9} \sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}}{{((1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}))}^{1}} - \frac{405 x^{9}}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}} + 45 x^{4} \arcsin (9 x^{5})$

Étape 4.4.3.6.5

Simplifiez

$\frac{405 x^{9} \sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}}{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} - \frac{405 x^{9}}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}} + 45 x^{4} \arcsin (9 x^{5})$

Étape 4.5

Pour écrire $\frac{405 x^{9} \sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}}{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{405 x^{9} \sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}}{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} \cdot \frac{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{405 x^{9}}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}} + 45 x^{4} \arcsin (9 x^{5})$

Étape 4.6

Pour écrire $- \frac{405 x^{9}}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$ .

Étape 4.7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.7.1

Multipliez $\frac{405 x^{9} \sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}}{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$ par $\frac{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{405 x^{9} \sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}}{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{405 x^{9}}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} + 45 x^{4} \arcsin (9 x^{5})$

Étape 4.7.2

Multipliez $\frac{405 x^{9}}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$ .

$\frac{405 x^{9} \sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}}{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{405 x^{9} ((1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} ((1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}))} + 45 x^{4} \arcsin (9 x^{5})$

Étape 4.7.3

Réorganisez les facteurs de $(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{405 x^{9} \sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} - \frac{405 x^{9} ((1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} ((1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}))} + 45 x^{4} \arcsin (9 x^{5})$

Étape 4.7.4

Réorganisez les facteurs de ${(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} ((1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}))$ .

$\frac{405 x^{9} \sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} - \frac{405 x^{9} ((1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} + 45 x^{4} \arcsin (9 x^{5})$

Étape 4.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{405 x^{9} \sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} - 405 x^{9} ((1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} + 45 x^{4} \arcsin (9 x^{5})$

Étape 4.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.9.1

Factorisez $405 x^{9}$ à partir de $405 x^{9} \sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} - 405 x^{9} ((1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}))$ .

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Étape 4.9.1.1

Factorisez $405 x^{9}$ à partir de $405 x^{9} \sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{405 x^{9} (\sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}) - 405 x^{9} ((1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} + 45 x^{4} \arcsin (9 x^{5})$

Étape 4.9.1.2

Factorisez $405 x^{9}$ à partir de $- 405 x^{9} ((1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}))$ .

$\frac{405 x^{9} (\sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}) + 405 x^{9} (- ((1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} + 45 x^{4} \arcsin (9 x^{5})$

Étape 4.9.1.3

Factorisez $405 x^{9}$ à partir de $405 x^{9} (\sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}) + 405 x^{9} (- ((1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})))$ .

$\frac{405 x^{9} (\sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} - ((1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} + 45 x^{4} \arcsin (9 x^{5})$

Étape 4.9.2

Développez $(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.9.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{405 x^{9} (\sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} - (1 (1 - 9 x^{5}) + 9 x^{5} (1 - 9 x^{5})))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} + 45 x^{4} \arcsin (9 x^{5})$

Étape 4.9.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{405 x^{9} (\sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} - (1 \cdot 1 + 1 (- 9 x^{5}) + 9 x^{5} (1 - 9 x^{5})))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} + 45 x^{4} \arcsin (9 x^{5})$

Étape 4.9.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{405 x^{9} (\sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} - (1 \cdot 1 + 1 (- 9 x^{5}) + 9 x^{5} \cdot 1 + 9 x^{5} (- 9 x^{5})))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} + 45 x^{4} \arcsin (9 x^{5})$

Étape 4.9.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.9.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.9.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{405 x^{9} (\sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} - (1 + 1 (- 9 x^{5}) + 9 x^{5} \cdot 1 + 9 x^{5} (- 9 x^{5})))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} + 45 x^{4} \arcsin (9 x^{5})$

Étape 4.9.3.1.2

Multipliez $- 9 x^{5}$ par $1$ .

$\frac{405 x^{9} (\sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} - (1 - 9 x^{5} + 9 x^{5} \cdot 1 + 9 x^{5} (- 9 x^{5})))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} + 45 x^{4} \arcsin (9 x^{5})$

Étape 4.9.3.1.3

Multipliez $9$ par $1$ .

$\frac{405 x^{9} (\sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} - (1 - 9 x^{5} + 9 x^{5} + 9 x^{5} (- 9 x^{5})))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} + 45 x^{4} \arcsin (9 x^{5})$

Étape 4.9.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{405 x^{9} (\sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} - (1 - 9 x^{5} + 9 x^{5} + 9 \cdot - 9 x^{5} x^{5}))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} + 45 x^{4} \arcsin (9 x^{5})$

Étape 4.9.3.1.5

Multipliez $x^{5}$ par $x^{5}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.9.3.1.5.1

Déplacez $x^{5}$ .

$\frac{405 x^{9} (\sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} - (1 - 9 x^{5} + 9 x^{5} + 9 \cdot - 9 (x^{5} x^{5})))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} + 45 x^{4} \arcsin (9 x^{5})$

Étape 4.9.3.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{405 x^{9} (\sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} - (1 - 9 x^{5} + 9 x^{5} + 9 \cdot - 9 x^{5 + 5}))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} + 45 x^{4} \arcsin (9 x^{5})$

Étape 4.9.3.1.5.3

Additionnez $5$ et $5$ .

$\frac{405 x^{9} (\sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} - (1 - 9 x^{5} + 9 x^{5} + 9 \cdot - 9 x^{10}))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} + 45 x^{4} \arcsin (9 x^{5})$

Étape 4.9.3.1.6

Multipliez $9$ par $- 9$ .

$\frac{405 x^{9} (\sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} - (1 - 9 x^{5} + 9 x^{5} - 81 x^{10}))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} + 45 x^{4} \arcsin (9 x^{5})$

Étape 4.9.3.2

Additionnez $- 9 x^{5}$ et $9 x^{5}$ .

$\frac{405 x^{9} (\sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} - (1 + 0 - 81 x^{10}))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} + 45 x^{4} \arcsin (9 x^{5})$

Étape 4.9.3.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{405 x^{9} (\sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} - (1 - 81 x^{10}))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} + 45 x^{4} \arcsin (9 x^{5})$

Étape 4.9.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{405 x^{9} (\sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 - (- 81 x^{10}))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} + 45 x^{4} \arcsin (9 x^{5})$

Étape 4.9.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{405 x^{9} (\sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} - 1 - (- 81 x^{10}))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} + 45 x^{4} \arcsin (9 x^{5})$

Étape 4.9.6

Multipliez $- 81$ par $- 1$ .

$\frac{405 x^{9} (\sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} - 1 + 81 x^{10})}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} + 45 x^{4} \arcsin (9 x^{5})$

Étape 4.10

Pour écrire $45 x^{4} \arcsin (9 x^{5})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}}{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{405 x^{9} (\sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} - 1 + 81 x^{10})}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} + 45 x^{4} \arcsin (9 x^{5}) \cdot \frac{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}}{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.11

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.11.1

Associez $45 x^{4} \arcsin (9 x^{5})$ et $\frac{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}}{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{405 x^{9} (\sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} - 1 + 81 x^{10})}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} + \frac{45 x^{4} \arcsin (9 x^{5}) ((1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.11.2

Réorganisez les facteurs de $(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{405 x^{9} (\sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} - 1 + 81 x^{10})}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} + \frac{45 x^{4} \arcsin (9 x^{5}) ((1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{405 x^{9} (\sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} - 1 + 81 x^{10}) + 45 x^{4} \arcsin (9 x^{5}) ((1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.13.1

Factorisez $45 x^{4}$ à partir de $405 x^{9} (\sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} - 1 + 81 x^{10}) + 45 x^{4} \arcsin (9 x^{5}) ((1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}})$ .

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Étape 4.13.1.1

Factorisez $45 x^{4}$ à partir de $405 x^{9} (\sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} - 1 + 81 x^{10})$ .

$\frac{45 x^{4} (9 x^{5} (\sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} - 1 + 81 x^{10})) + 45 x^{4} \arcsin (9 x^{5}) ((1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.13.1.2

Factorisez $45 x^{4}$ à partir de $45 x^{4} \arcsin (9 x^{5}) ((1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{45 x^{4} (9 x^{5} (\sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} - 1 + 81 x^{10})) + 45 x^{4} (\arcsin (9 x^{5}) ((1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.13.1.3

Factorisez $45 x^{4}$ à partir de $45 x^{4} (9 x^{5} (\sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} - 1 + 81 x^{10})) + 45 x^{4} (\arcsin (9 x^{5}) ((1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}))$ .

$\frac{45 x^{4} (9 x^{5} (\sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} - 1 + 81 x^{10}) + \arcsin (9 x^{5}) ((1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.13.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$ comme ${((1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{45 x^{4} (9 x^{5} ({((1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}))}^{\frac{1}{2}} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} - 1 + 81 x^{10}) + \arcsin (9 x^{5}) ((1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.13.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.13.3.1

Développez $(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.13.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{45 x^{4} (9 x^{5} ({(1 (1 - 9 x^{5}) + 9 x^{5} (1 - 9 x^{5}))}^{\frac{1}{2}} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} - 1 + 81 x^{10}) + \arcsin (9 x^{5}) ((1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.13.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{45 x^{4} (9 x^{5} ({(1 \cdot 1 + 1 (- 9 x^{5}) + 9 x^{5} (1 - 9 x^{5}))}^{\frac{1}{2}} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} - 1 + 81 x^{10}) + \arcsin (9 x^{5}) ((1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.13.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{45 x^{4} (9 x^{5} ({(1 \cdot 1 + 1 (- 9 x^{5}) + 9 x^{5} \cdot 1 + 9 x^{5} (- 9 x^{5}))}^{\frac{1}{2}} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} - 1 + 81 x^{10}) + \arcsin (9 x^{5}) ((1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.13.3.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.13.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.13.3.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{45 x^{4} (9 x^{5} ({(1 + 1 (- 9 x^{5}) + 9 x^{5} \cdot 1 + 9 x^{5} (- 9 x^{5}))}^{\frac{1}{2}} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} - 1 + 81 x^{10}) + \arcsin (9 x^{5}) ((1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.13.3.2.1.2

Multipliez $- 9 x^{5}$ par $1$ .

$\frac{45 x^{4} (9 x^{5} ({(1 - 9 x^{5} + 9 x^{5} \cdot 1 + 9 x^{5} (- 9 x^{5}))}^{\frac{1}{2}} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} - 1 + 81 x^{10}) + \arcsin (9 x^{5}) ((1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.13.3.2.1.3

Multipliez $9$ par $1$ .

$\frac{45 x^{4} (9 x^{5} ({(1 - 9 x^{5} + 9 x^{5} + 9 x^{5} (- 9 x^{5}))}^{\frac{1}{2}} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} - 1 + 81 x^{10}) + \arcsin (9 x^{5}) ((1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.13.3.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{45 x^{4} (9 x^{5} ({(1 - 9 x^{5} + 9 x^{5} + 9 \cdot - 9 x^{5} x^{5})}^{\frac{1}{2}} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} - 1 + 81 x^{10}) + \arcsin (9 x^{5}) ((1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.13.3.2.1.5

Multipliez $x^{5}$ par $x^{5}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.13.3.2.1.5.1

Déplacez $x^{5}$ .

$\frac{45 x^{4} (9 x^{5} ({(1 - 9 x^{5} + 9 x^{5} + 9 \cdot - 9 (x^{5} x^{5}))}^{\frac{1}{2}} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} - 1 + 81 x^{10}) + \arcsin (9 x^{5}) ((1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.13.3.2.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{45 x^{4} (9 x^{5} ({(1 - 9 x^{5} + 9 x^{5} + 9 \cdot - 9 x^{5 + 5})}^{\frac{1}{2}} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} - 1 + 81 x^{10}) + \arcsin (9 x^{5}) ((1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.13.3.2.1.5.3

Additionnez $5$ et $5$ .

$\frac{45 x^{4} (9 x^{5} ({(1 - 9 x^{5} + 9 x^{5} + 9 \cdot - 9 x^{10})}^{\frac{1}{2}} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} - 1 + 81 x^{10}) + \arcsin (9 x^{5}) ((1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.13.3.2.1.6

Multipliez $9$ par $- 9$ .

$\frac{45 x^{4} (9 x^{5} ({(1 - 9 x^{5} + 9 x^{5} - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} - 1 + 81 x^{10}) + \arcsin (9 x^{5}) ((1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.13.3.2.2

Additionnez $- 9 x^{5}$ et $9 x^{5}$ .

$\frac{45 x^{4} (9 x^{5} ({(1 + 0 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} - 1 + 81 x^{10}) + \arcsin (9 x^{5}) ((1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.13.3.2.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{45 x^{4} (9 x^{5} ({(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} - 1 + 81 x^{10}) + \arcsin (9 x^{5}) ((1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.13.3.3

Multipliez ${(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}$ par ${(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.13.3.3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{45 x^{4} (9 x^{5} ({(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 1 + 81 x^{10}) + \arcsin (9 x^{5}) ((1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.13.3.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{45 x^{4} (9 x^{5} ({(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1 + 1}{2}} - 1 + 81 x^{10}) + \arcsin (9 x^{5}) ((1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.13.3.3.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{45 x^{4} (9 x^{5} ({(1 - 81 x^{10})}^{\frac{2}{2}} - 1 + 81 x^{10}) + \arcsin (9 x^{5}) ((1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.13.3.3.4

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{45 x^{4} (9 x^{5} ({(1 - 81 x^{10})}^{1} - 1 + 81 x^{10}) + \arcsin (9 x^{5}) ((1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.13.3.4

Simplifiez ${(1 - 81 x^{10})}^{1}$ .

$\frac{45 x^{4} (9 x^{5} (1 - 81 x^{10} - 1 + 81 x^{10}) + \arcsin (9 x^{5}) ((1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.13.4

Associez les termes opposés dans $1 - 81 x^{10} - 1 + 81 x^{10}$ .

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Étape 4.13.4.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{45 x^{4} (9 x^{5} (- 81 x^{10} + 0 + 81 x^{10}) + \arcsin (9 x^{5}) ((1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.13.4.2

Additionnez $- 81 x^{10}$ et $0$ .

$\frac{45 x^{4} (9 x^{5} (- 81 x^{10} + 81 x^{10}) + \arcsin (9 x^{5}) ((1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.13.4.3

Additionnez $- 81 x^{10}$ et $81 x^{10}$ .

$\frac{45 x^{4} (9 x^{5} \cdot 0 + \arcsin (9 x^{5}) ((1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.13.5

Multipliez $9 x^{5} \cdot 0$ .

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Étape 4.13.5.1

Multipliez $0$ par $9$ .

$\frac{45 x^{4} (0 x^{5} + \arcsin (9 x^{5}) ((1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.13.5.2

Multipliez $0$ par $x^{5}$ .

$\frac{45 x^{4} (0 + \arcsin (9 x^{5}) ((1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.13.6

Développez $(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.13.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{45 x^{4} (0 + \arcsin (9 x^{5}) ((1 (1 - 9 x^{5}) + 9 x^{5} (1 - 9 x^{5})) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.13.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{45 x^{4} (0 + \arcsin (9 x^{5}) ((1 \cdot 1 + 1 (- 9 x^{5}) + 9 x^{5} (1 - 9 x^{5})) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.13.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{45 x^{4} (0 + \arcsin (9 x^{5}) ((1 \cdot 1 + 1 (- 9 x^{5}) + 9 x^{5} \cdot 1 + 9 x^{5} (- 9 x^{5})) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.13.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.13.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.13.7.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{45 x^{4} (0 + \arcsin (9 x^{5}) ((1 + 1 (- 9 x^{5}) + 9 x^{5} \cdot 1 + 9 x^{5} (- 9 x^{5})) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.13.7.1.2

Multipliez $- 9 x^{5}$ par $1$ .

$\frac{45 x^{4} (0 + \arcsin (9 x^{5}) ((1 - 9 x^{5} + 9 x^{5} \cdot 1 + 9 x^{5} (- 9 x^{5})) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.13.7.1.3

Multipliez $9$ par $1$ .

$\frac{45 x^{4} (0 + \arcsin (9 x^{5}) ((1 - 9 x^{5} + 9 x^{5} + 9 x^{5} (- 9 x^{5})) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.13.7.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{45 x^{4} (0 + \arcsin (9 x^{5}) ((1 - 9 x^{5} + 9 x^{5} + 9 \cdot - 9 x^{5} x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.13.7.1.5

Multipliez $x^{5}$ par $x^{5}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.13.7.1.5.1

Déplacez $x^{5}$ .

$\frac{45 x^{4} (0 + \arcsin (9 x^{5}) ((1 - 9 x^{5} + 9 x^{5} + 9 \cdot - 9 (x^{5} x^{5})) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.13.7.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{45 x^{4} (0 + \arcsin (9 x^{5}) ((1 - 9 x^{5} + 9 x^{5} + 9 \cdot - 9 x^{5 + 5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.13.7.1.5.3

Additionnez $5$ et $5$ .

$\frac{45 x^{4} (0 + \arcsin (9 x^{5}) ((1 - 9 x^{5} + 9 x^{5} + 9 \cdot - 9 x^{10}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.13.7.1.6

Multipliez $9$ par $- 9$ .

$\frac{45 x^{4} (0 + \arcsin (9 x^{5}) ((1 - 9 x^{5} + 9 x^{5} - 81 x^{10}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.13.7.2

Additionnez $- 9 x^{5}$ et $9 x^{5}$ .

$\frac{45 x^{4} (0 + \arcsin (9 x^{5}) ((1 + 0 - 81 x^{10}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.13.7.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{45 x^{4} (0 + \arcsin (9 x^{5}) ((1 - 81 x^{10}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.13.8

Multipliez $1 - 81 x^{10}$ par ${(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.13.8.1

Multipliez $1 - 81 x^{10}$ par ${(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.13.8.1.1

Élevez $1 - 81 x^{10}$ à la puissance $1$ .

$\frac{45 x^{4} (0 + \arcsin (9 x^{5}) ({(1 - 81 x^{10})}^{1} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.13.8.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{45 x^{4} (0 + \arcsin (9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{1 + \frac{1}{2}})}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.13.8.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{45 x^{4} (0 + \arcsin (9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.13.8.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{45 x^{4} (0 + \arcsin (9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{2 + 1}{2}})}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.13.8.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{45 x^{4} (0 + \arcsin (9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.13.9

Additionnez $0$ et $\arcsin (9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{45 x^{4} \arcsin (9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{3}{2}}}{{(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}} (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.14

Placez ${(1 - 81 x^{10})}^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{45 x^{4} \arcsin (9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{3}{2}} {(1 - 81 x^{10})}^{- \frac{1}{2}}}{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.15

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.15.1

Multipliez ${(1 - 81 x^{10})}^{\frac{3}{2}}$ par ${(1 - 81 x^{10})}^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.15.1.1

Déplacez ${(1 - 81 x^{10})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{45 x^{4} \arcsin (9 x^{5}) ({(1 - 81 x^{10})}^{- \frac{1}{2}} {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{3}{2}})}{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.15.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{45 x^{4} \arcsin (9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}}}{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.15.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{45 x^{4} \arcsin (9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{- 1 + 3}{2}}}{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.15.1.4

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$\frac{45 x^{4} \arcsin (9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{\frac{2}{2}}}{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.15.1.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{45 x^{4} \arcsin (9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{1}}{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.15.2

Simplifiez $45 x^{4} \arcsin (9 x^{5}) {(1 - 81 x^{10})}^{1}$ .

$\frac{45 x^{4} \arcsin (9 x^{5}) (1 - 81 x^{10})}{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.16

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.16.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{45 x^{4} \arcsin (9 x^{5}) (1^{2} - 81 x^{10})}{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.16.2

Réécrivez $81 x^{10}$ comme ${(9 x^{5})}^{2}$ .

$\frac{45 x^{4} \arcsin (9 x^{5}) (1^{2} - {(9 x^{5})}^{2})}{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.16.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = 9 x^{5}$ .

$\frac{45 x^{4} \arcsin (9 x^{5}) ((1 + 9 x^{5}) (1 - (9 x^{5})))}{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.16.4

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$\frac{45 x^{4} \arcsin (9 x^{5}) (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.17

Annulez le facteur commun de $1 + 9 x^{5}$ .

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Étape 4.17.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{45 x^{4} \arcsin (9 x^{5}) (1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}{(1 + 9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}$

Étape 4.17.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{45 x^{4} \arcsin (9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}{1 - 9 x^{5}}$

Étape 4.18

Annulez le facteur commun de $1 - 9 x^{5}$ .

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Étape 4.18.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{45 x^{4} \arcsin (9 x^{5}) (1 - 9 x^{5})}{1 - 9 x^{5}}$

Étape 4.18.2

Divisez $45 x^{4} \arcsin (9 x^{5})$ par $1$ .

$45 x^{4} \arcsin (9 x^{5})$